第十五章傅里叶级数

第十五章傅里叶级数

S F 01（数）

Ch 15 Fourier级数

计

1 2 时

第十五章傅里叶级数

Ch 15 Fourier级数 （ 1 2 时 ）

§ 1 Fourier级数（ 6 时 ）

一． 三角级数：

1． 背景：

⑴ 波的分析：频谱分析 . 基频

1T

( T

2

) . 倍频.

⑵ 函数展开条件的减弱 : 积分展开 .

⑶ Rn中用Descates坐标系建立坐标表示向量思想的推广:

调和分析简介: 十九世纪八十年代法国工程师Fourier建立了Fourier分析理论 的基础.

2.

三角级数的一般形式: 一般的三角级数为 A0

A

n 1

n

sin(n x n).

由于 sin(nx n) sin ncosnx cos nsinnx ,

a02

设 A0 , Ansin n an , Ancos n bn, 得三角级数的一般形式

a02

a

n 1

n

cosnx bnsinnx ,

*)

3. 三角级数的收敛性:

Th1 若级数

|a0|2

( |a

n 1

n

| |bn| )收敛 , 则级数

)

在R 内绝对且一致收敛 .

证 用M 判别法.

二. 三角函数正交系统:

1. 内积和正交: 由R3中的内积与正交概念引入. 设函数f和g在区间[ a , b ]上 ( R)可积 . 定义内积为

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f , g f(x)g(x)dx.

a

b

当 f , g 0时 , 称函数f(x)和g(x)在区间[ a , b ]上正交 .

函数的正交性与区间有关 . 例如函数f(x) x和g(x) x2在区间[ 0 , 1 ]上并不 正交 ( 因为 f , g

2. 3.

正交函数系统 : 标准正交系 ( 幺正系 ) , 完全系 . 三角函数正交系统 : 三角函数系统

14

) , 但在区间[ 1 , 1 ]却是正交的 .

{ 1 , cosx , sinx , cos2x , sin2x , , cosnx , sinnx , } 是区间 [ , ]上的正交系统 . 验证如下:

1 , coskx

coskxdx

0, 1 , sinkx

sinkxdx

0 , k 1 , 2 , ;

sinkx, cos hx

sinkxcos hxdx

对k , h 1 , 2 , 且k h,有

sinkx , sin hx

12

( h)x sink( h)x dx sink

0, k , h 1 , 2 ,

sinkxsin hxdx 0和 coskx , cos hx

coskxcos hxdx

0.

该系统不是标准正交系 , 因为

1dx 2 ,

sin

2

kxdx

coskxdx .

2

因此 , 三角函数系统 {

12 , cosx

, sinx

, cos2x

, sin2x

,

cosnx

, sinnx

, }

第十五章傅里叶级数

是标准正交系. （与R3中的坐标系{ i , j , k }比较 ）

三. 以2 为周期函数的Fourier级数：

1． 三角级数的系数与其和函数的关系：

Th2 若在整个数轴上

f(x)

a02

a

n

cosnx bnsinnx ,

n 1

且等式右端的级数一致收敛，则有如下关系式 a1

n

f(x)cosnxdx， n 0 , 1 , 2 , b1

n

f(x)sinnxdx ， n 1 , 2 ,

证 [1]P84

2． Fourier系数和Fourier级数：

Euler―Fourier公式： 设函数f(x)在区间 [ , ]上（R）可积，称公式 a1

k

f(x)coskxdx， k 0 , 1 , 2 ,

b1

k

f(x)sinkxdx

，

k 1 , 2 , 为Euler―Fourier公式. 称由Euler―Fourier公式得到的an和bn为函数f(x)的Fourier系数. 并称以Fourier系数an和bn为系数的三角级数

a02

a

n

cosnx bnsinnx ,

n 1

为函数f(x)的Fourier级数 , 记为

f(x)～a

02

a

n

cosnx bnsinnx .

n 1

例1 f(x) x, x [ , ]. 求函数f(x)的Fourier级数.

第十五章傅里叶级数

解 f(x)是[ , ]上的奇函数, ak 0; bk

1

xsinkxdx

2

1k

xsinkxdx

2 xcoskx

k

( 1 )

coskxdx

k

k 1

2

.

因此, f(x)～ 2 ( 1 )n 1

n 1

sinnxn

.

例2 设函数f(x)满足条件 f(x ) f(x)( 称满足该条件的函数为反周期

函数 ). 问这种函数在区间( , )内的Fourier系数具有什么特性.

解 an 而

1

f(x)cosnxdx

t x

1 0

.

f(t)cosntdt ( n )dx f(x)cosn( nx)dx. f(x )cosnx

因此, an

1

f(x) cos(n nx) cosnx dx.

n 2k时, cos(2k 2kx) cos2kx 0, a2k 0;

同理得 b2k 0. Ex

[1]P92 2，4，5，6 .

四. 收敛定理:

1. 按段光滑函数: .

定义 若f(x)的导函数f (x)在区间[ a , b ]上连续 , 则称函数f(x)在区间[ a , b ]上光滑. 若函数f(x)在区间[ a , b ]上至多有有限个第一类间断点, 且f (x)仅在区间[ a , b ]上有限个点处不连续且为第一类间断点, 则称f(x)是区间[ a , b ]上的按段光滑函数.

按段光滑函数的性质: 设函数f(x)在区间[ a , b ]上按段光滑, 则

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⑴ f(x)在区间[ a , b ]上可积;

⑵ 对 x [ a , b ], f(x 0)都存在 , 且有 lim

t 0

f(x t) f(x 0)

t

f(x t) f(x 0)

t

f (x 0) ,

f (x 0) . ( 用Lagrange中值定理证明 )

lim

t 0

⑶ f (x)在区间[ a , b ]上可积 . 2. 收敛定理:

Th3 设函数f(x)是以2 为周期的周期函数且在区间[ , ]上按段光滑 , 则在

a02

x [ , ], f(x)的Fourier级数

a

n 1

n

cosnx bnsinnx 收敛于f(x)在点

x的左、右极限的算术平均值 , 即

f(x 0) f(x 0)

2

a02

a

n 1

n

cosnx bnsinnx ,

其中an和bn为函数f(x)的Fourier系数. ( 证明放到以后进行 )

系 若f(x)是以2 为周期的连续函数 , 在[ …… 此处隐藏：7429字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……