《电磁场与波》chapter1-3

1-3标量场的梯度 Gradient of a scalar field 一、标量函数的方向变化率 二、梯度的定义 三、梯度的表示 四、哈米顿算子 五、梯度运算恒等式 六、梯度的意义 例题

一、标量函数的方向变化率 标量场在不同位置的大小变化程度可用沿空间各方向的方向导数来描述。

沿X轴方向变化率为： 沿Y轴方向变化率为： 沿Z轴方向变化率为：

φ ( x, y, z ) x

φ ( x, y, z ) z

φ ( x, y, z ) y

沿空间任意方向 l 的变化率为φ沿 l 方向的偏导数 (方向导数)

设 l 用其方向余弦表示： l = cosα x+ cosβ y+ cosγz

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方向的偏导数为： φ= φ x+ φ y+ φ z沿 l x l y l z l l φ φ φ二、梯度的定义：= x cosα+ y cosβ+ z cosγ φ φ φ + + G ( x, y, z)= x y z z x y φ = G l= G cosθ l

(G, l )=θ

φ沿 G方向，的变化率最大，沿 l 方向的变化率为 G在 l 方向的投影。 定义：矢量 G称为标量场φ在点(x, y, z)处的梯度。

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三、梯度的意义

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其方向是标量场在该点变化速度最快的方向，并指向标量场增加的方向，与标量场在该点的等位线相垂直。大小是变化速率的最大值。 通过标量场求对应的矢量场。最常见的有以下几种：重力场中势能与重力；温度场中温度与热流强度；电场中的电位与电场强度；

四、梯度的表示

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φ φ φ gradφ= x+ y+ z x y z φ φ φ φ= x+ y+ z x y z

Cylindrical and spherical coordinate systems:

1 φ φ φ φ=ρ+ + z ρρ z φ φ 1 1 φ+ φ= r+θ r r θ r sinθ

五、哈米顿算子哈米顿算子定义为：

+ y+ z = x z x y

Cylindrical and Spherical coordinate systems:

1 =ρ+ + z ρρ z

= r

1 1 + +θ r θ r sinθ r

Gradient(剃度) of a scalar:Divergence(散度) of a vector: Curl(旋度) of a vector:

φ A

× A上页下页首页

与矢量的标量积和矢量积可表示为： ) ( A x x+ A y y+ Az z ) A= (x+ y+z x y z Divergence A y Az Ax=++ y x zCurl x )× ( Ax x+ A y y+ Az z )= × A= (x+ y+z x x y z Ax y y Ay z z Az

A y Ax Az A y A x Az )x+ ( )y+ ( )z =( y y x x z z上页下页首页

六、梯度运算的恒等式

与导数公式基本相同，可用求导公式证明。

c= 0

(cφ )= c φ

(φ±ψ )= φ± ψ

(φψ )=ψ φ+φ ψ

1φ ( )= (ψ φ φ ψ ) 2ψψ F (φ )= F′(φ ) φ

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( point position), x′, y′, z′)表示产生场的源的坐标(源点 source point position),R表示源点到场点的距离(距离矢量 distance vector)。求 1及 ′ 1R

例：位置矢量(position vectors) x, y, z )表示空间任一观察点(场点 field (

R

解： R= ( x x′) x+ ( y y′) y+ ( z z′) z

( x′, y′, z′)

R= ( x x′)+ ( y y′)+ ( z z′)2 2

2

r′r

R

( x, y, z )

1 1 1 1 = x+ y+ z x R y R R z R 1 1= ( y y′) 3 y R R

1 1 R 1= ( x x′)= 2 3 x R R x R

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1 1 1 1 = x+ y+ z R z R x R y R

( x′, y′, z′)

r′r

R

( x, y, z )

1 ( x x′) x ( y y′) y ( z z′) z = 3 3 R R R R3 ( x x′) x+ ( y y′) y+ ( z z′) z= R3

R r r′= 3= R ( r r′) 3

1 R r r′ ′= 3= R R ( r r′) 3

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