高中数学(新人教A版)必修3第一章1.3《算法案例---秦九韶算法》课

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算 法 案 例

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复习引入:1、求两个数的最大公约数的两种方法分别是 ( )和( )。

2、两个数21672,8127的最大公约数是 (

)

A、2709

B、2606

C、2703

D、2706

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新课讲解:

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怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值呢？

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计算多项式f(x) =x5+x4+x3+x2+x+1 当x = 5的值的算法： 算法1: 因为f(x) =x5+x4+x3+x2+x+1

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所以f(5)=55+54+53+52+5+1 =3125+625+125+25+5+1 = 3906 算法2: f(5)=55+54+53+52+5+1 =5×(54+53+52+5+1 ) +1 =5×(5×(53+52+5 +1 )+1 ) +1 =5×(5×(5×(52+5 +1) +1 ) +1 ) +1 =5×(5×(5×(5 ×(5 +1) +1 )+1)+1) +1

算法1: 因为f(x) =x5+x4+x3+x2+x+1 所以f(5)=55+54+53+52+5+1=3125+625+125+25+5+1 = 3906共做了1+2+3+4=10次乘法运算，5次加法运算。

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算法2: f(5)=55+54+53+52+5+1 =5×(54+53+52+5+1 ) +1 =5×(5×(53+52+5 +1 )+1 ) +1 =5×(5×(5×(52+5 +1) +1 ) +1 ) +1 =5×(5×(5×(5 ×(5 +1) +1 )+1)+1) +1共做了4次乘法运算，5次加法运算。5

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《数书九章》——秦九韶算法 设 f (x) 是一个n 次的多项式f ( x) an x an 1 xn n 1

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a1 x a0

对该多项式按下面的方式进行改写：f ( x) an x an 1 xn n 1n 2

a1 x a0 a1 ) x a0n 3

这是怎样的一 种改写方式？ 最后的结果是 什么？

( an x

n 1

an 1 x

(( an x

n 2

an 1 x

a2 ) x a1 ) x a0

( (an x an 1 ) x an 2 ) x a1 ) x a0

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f ( x) ( (an x an 1 ) x an 2 ) x a1 ) x a0

要求多项式的值，应该先算最内层的一次多项式的值，即 然后，由内到外逐层计算一次多项式的值，即v2 v1 x an 2 v3 v2 x an 3最后的一项 是什么？

v1 an x an 1

vn vn 1 x a0

这种将求一个n次多项式f(x)的值转化成求n个一次 多项式的值的方法，称为秦九韶算法。7

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秦九韶算法的特点：通过一次式的反复计算，

逐步得出高次多项 式的值，对于一个n次多项式，只需做n次乘法和n 次加法即可。

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例： 已知一个五次多项式为5 4 3 2

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f ( x) 5 x 2 x 3.5 x 2.6 x 1.7 x 0.8

用秦九韶算法求这个多项式当x = 5的值。 解： 将多项式变形：

f ( x) (((( 5 x 2) x 3.5) x 2.6) x 1.7) x 0.8

按由里到外的顺序，依此计算一次多项式当x = 5时的值：v0 5 v1 5 5 2 27 v2 27 5 3.5 138.5 v3 138.5 5 2.6 689.9 v4 689.9 5 1.7 3451.2 v5 3451.2 5 0.8 17255.2

你从中看到了 怎样的规律？ 怎么用程序框 图来描述呢？9

所以，当x = 5时，多项式的值等于17255.2

程序框图：

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开始输入f(x)的系数： a0,a1,a2,a3,a4a5

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输入x0

v 0 a n v k v k 1 x a n k ( k 1,2, , n)

n=1 v=a5

这是一个在秦九韶算法中 反复执行的步骤，因此可 用循环结构来实现。

n=n+1n≤5?Y

v=vx0+a5-n N

输出v

结束

另解：(秦九韶算法的另一种直观算法) 多项式的系数

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5

2

3.5

-2.6

1.7

-0.8

+X5

05

25

135

692.5 3449.5 17256

27 138.5 689.9 3451.2 17255.2

多项式的值11

思考：你能设计程序把“秦九韶算法”表示出来吗？

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(1)、算法步骤：第一步：输入多项式次数n、最高次项的系数an和x的 值. 第二步：将v的值初始化为an,将i的值初始化为n-1.第三步：输入i次项的系数an.

第四步：v=vx+ai, i=i-1.第五步：判断i是否大于或等于0,若是，则返回第三 步；否则，输出多项式的值v。12

金太阳教育网 http://doc.guandang.net (2)程序框图：

开始

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输入n,an,x V=an

i=n-1i=i-1 v=vx+ai i>=0? N 输出v 结束输入ai

Y

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(3)程序：

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INPUT “n=”;n INPUT “an=“;a

INPUT “x=“;xv=a i=n-1

WHILE i>=0PRINT “i=“;i INPUT “ai=“;a

v=v*x+ai=i-1 WEND

PRINT vEND14

练习：

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1、已知多项式f(x)=x5+5x4+10x3+10x2+5x+1

用秦九韶算法求这个多项式当x=-2时的值。2、已知多项式f(x)=2x4-6x3-5x2+4x-6 用秦九韶算法求这个多项式当x=5时的值。

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课堂小结：1、秦九韶算法的方法和步骤

2、秦九韶算法的程序框图