非线性系统分析_描述函数1

大学自动化考研课件内容

第三章 非线性控制系统分析

3.1 非线性控制系统概述

3.2 描述函数法 3.3 相平面法

3.4 Popov法

大学自动化考研课件内容

3.1 非线性控制系统概述1.非线性现象的普遍性 非线性是宇宙间的普遍规律 非线性系统的运动形式多样，种类繁多 线性系统只是在特定条件下的近似描述 2.非线性系统的一般数学模型dny dy d mr dr f (t , n , , y ) g (t , m , , r ) dt dt dt dt

其中，f (· )和g (· )为非线性函数。

大学自动化考研课件内容

3.非线性系统的分类 按非线性环节的物理性能及非线性特性的形状划分，非线性 特性有死区、饱和、间隙和继电器等。 (1) 死区特性(不 灵敏区特性)y(t)

0 y(t ) k[ x(t ) asignx(t )]x(t)

x(t ) a x(t ) a

特征：当输入信号在零位附近变化时，系统没有输出。 当输入信号大于某一数值时才有输出，且与输入呈线性关系。死区或不灵敏区 很小时 作为线性特性处理 较大时 将使系统静态误差增加， 系统低速不平滑性

大学自动化考研课件内容

(2)饱和特性y (t )

kx(t ) y(t ) ka sgn x(t )

x(t ) a x(t ) ax (t )

放大器的饱和输出特性 磁饱和 元件的行程限制 功率限制等。

特点：当输入信号超出其线性范围后，输出信号不再随输入信 号变化而保持恒定。

大学自动化考研课件内容

(3)间隙特性y(t)

c

k[ x(t ) a] y (t ) k[ x(t ) a] c sgn x(t )

(t ) 0 y (t ) 0 y (t ) 0 y

x(t)

齿轮传动中的齿隙 液压传动中的油隙

特点： 输入输出之间具有多值关系。 间隙 输出相位滞后，减小稳定性裕量，动特性变坏。

大学自动化考研课件内容

(4) 继电器特性理想继电器y (t )

具有死区的单值继电器

y (t )

y (t )x(t)

x(t)

x(t)

y(t)

具有滞环的继电器

x(t)

具有死区和滞环的继电器 包含有死区、饱和、滞环特性

大学自动化考研课件内容

以非线性环节的输入和输出之间存在的函数关系划 分，非线性特性可分为单值函数和多值函数两类。 死区特性、饱和特性和理想继电器特性都属于单值情况； 间隙特性和一般继电器特性属于多值情况。

大学自动化考研课件内容

4.非线性系统特征 不适用叠加性原理 稳定性分析复杂 – 非线性系统的稳定性不仅与系统的结构和参数 有关，也与初始条件以及系统的输入信号的类 型和幅值有关。 可能存在自持振荡(极限环)现象 – 自持振荡是指没有外界周期变化信号的作用时， 系统内部产生的具有固定振幅和频率的稳定周 期运动。 – 线性系统的运动状态只有收敛和发散，只有在 临界稳定的情况下才能产生周期运动。

大学自动化考研课件内容

频率响应发生畸变 非线性系统的频率响应除了含有与输入同频率 的正弦信号分量外，还含有w 的高次谐波分量， 使输出波形发生非线性畸变。 G(s)、G(jw)

对非线性系统不适用

大学自动化考研课件内容

5. 非线性系统的分析与设计方法 非线性系统分析的重点 – 某一平衡点是否稳定，如果不稳定应如何校正； – 系统中是否会产生自持振荡，如何确定其周期和 振幅；

– 如何利用或消除自持振荡以获得需要的性能指标。

大学自动化考研课件内容

基本的非线性系统研究方法 小范围线性近似法 逐段线性近似法 相平面法

相平面法是非线性系统的图解法，只适用于阶数最 高为二阶的系统。 描述函数法是非线性系统的频域法，适用于具有低 通滤波特性的各种阶次的非线性系统。

描述函数法

李雅普诺夫法

大学自动化考研课件内容

3.2 描述函数法问题的提出 线性系统理论相对成熟，能否将一些非线性系统近 似为线性系统研究？ 描述函数 : 非线性环节的近似等效频率特性，可应 用线性系统理论中的频率法对非线性系统进行频域 分析。 基本思想：当系统满足一定假设条件时，系统中非 线性环节在正弦信号作用下的输出可以用一次谐波 分量来近似。 主要解决的问题：无外部作用情况下，非线性系统 的稳定性和自振荡。

大学自动化考研课件内容

一、描述函数的定义1. 基本概念输入：x(t ) A sin wt

稳态输出：非正弦周期信号，可展开成傅立叶级数。 y (t ) A0 ( An cos nwt Bn sin nwt ) A0 Yn sin(nwt n )n 1 n 1

An

输出的一次 谐波分量

1

1

2

0

y (t ) cos nw td (w t ) Yn

2 2 An Bn

Bn

2

0

n y (t ) sin nw td (w t ) n arctan B n

A

y(t ) y1 (t ) A1 coswt B1 sin wt Y1 sin(wt 1 )

Y1

A12 B12 arctan A1 1

B1

y(x)是关于 x 原点对称的函数可得：

直流分量：A0 0

稳态输出中一次谐波分量和输入信号的复数比： Y N ( A) 1 1 A A12 B12 A arctan 1 ——描述函数 A B1

大学自动化考研课件内容

如果非线性环节的输入输出特性 y(x) 是 x 的奇函 数, 则A0=0。 如果 y(t) 是t 的奇函数, 则A1=0, 若进一步y(t) 又 为 半周期内对称，则 B1

4

2 0

y (t )sin wtd (wt )

例如：非线性元件的特性为

1 1 3 y ( x) x x 2 4当输入为x =Asinwt,由上面结论可知A0=0, A1=0。B1

1

2

0

y (t ) sin wtd (wt )

大学自动化考研课件内容

2 应用基本假设 非线性系统应可简化为如下一个非线性环节和一个 线性部分闭环连接的典型结构形式。r=0 + x N y

G( s)

c

非线性环节的输入输出特性y(x)是x的奇函数, 即保证 A0=0。 非线性环节中不包含储能元件。 系统的线性部分应具有较好的滤波性能。

大学自动化考研课件内容

3. 描述函数的物理意义 非线性环节的描述函数反映了非线性系统 正弦响应中一次谐波分量的幅值和相位相 对于输入信号的变化。

关于输入正弦信号幅值A的复

变增益放大器。