线性代数 科学出版社 李国王晓峰著 课堂讲义第一章

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1.2 矩阵的初等变换1.2.1 线性方程组的初等变换我们先考察如下的一个例子. 求解下列方程组：2 x2 2 x3 1 1 2 x1 2 x2 2 x 3 2 2 x1 4 x1 2 x2 2 x3 1

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交换前两个方程的顺序得： 1 2 x1 2 x2 2 x2 2 x3 1 2 x3 2 2 x1 4 x1 2 x2 2 x3 1

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将第一个方程的-1 倍和-2 倍分别加到第三、四个 方程上得： 2 x1 2 x2 1 2 x2 2 x3 1 2 x2 2 x3 3 2 x2 2 x3 3

将第二个方程的-1 倍分别加到第三、四个方程上得 2 x1 2 x 2 2 x2 2 x3 4 x3 4 x3 1 1 2 23

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将第三个方程的-1 倍加到第四个方程上得 1 2 x1 2 x 2 2 x2 2 x3 1 4 x3 2 0 0

再将第三个方程乘以-1/4 得 1 2 x1 2 x2 2 x 2 x 1 2 3 1 x3 2 0 0 4

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通过回代求得原方程组的解为1, 1 x1 x2 1, x3 . 2 2

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一个n元线性方程组如满足如下条件则称为阶梯 型方程组: (i) 如方程组中某一方程的各项系数全为零, 则它

下方的所有方程(如有)的各项系数全为零;(ii)如方程组中某一方程的各项系数不全为零, 并

且第一个不为零的项是第i项, 则此方程下方的所有方程(如果存在)的前i 项的系数全为零.

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例如, 如下的方程组均是阶梯形的.

(C )

2 x 2 y z 0 z 3 0 0 0 0

2 3 x y (d ) 3 z 7 0 3 7

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3 x4 7 5 x1 2 x2 2 x3 5 x4 2 (e) 0 0 0 0

(f)

x1 2 x2 x3 x4 1 x2 3 x4 2 x 3 5 x4 0 x4 5 8

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消元法就是要对给定的线性方程组施行三种初等变 换，将其变换成一个同解的阶梯形方程组, 从而达 到求解的目的.

三种初等变换：I. 交换某两个方程的相互位置；

II. 用一非零数乘以某一方程;III. 某一方程乘以一数后加到另一方程上. 定理1.2.1 一线性方程组经若干上述初等变换后得 到的方程组与原方程组同解.

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1.2.2 矩阵的初等变换下面我们将对应于方程组的初等变换引入矩阵的初等变换. 仍然考察前面的例子.2 x2 2 x3 1 1 2 x1 2 x2 2 x 3 2 2 x1 4 x1 2 x2 2 x3 1

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写出增广矩阵得：2 x2 2 x3 1 1 2 x1 2 x2 2 x 3 2 2 x1 4 x1 2 x2 2 x3 1 0 2 2 4 2 2 0 2 2 0 2 2 1 | 1 | 2 | 1 |

交换前两行得： 1 2 x1 2 x2 2 x2 2 x3 1 2 x3 2 2 x1 4 x1 2 x2 2 x3

1 2 0 2 4 2 2 0 2 0 2 | | 1 1 2 1 11

2 | 2 |

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将上述增广矩阵的第一行的 1倍和 2倍分别加到 第三、四行上得： 2 x1 2 x2 1 2 x2 2 x3 1 2 x2 2 x3 3 2 x2 2 x3 3 2 0 0 0 2 2 2 2 0 2 2 2 | | | | 1 1 3 3

将第二行得-1 倍分别加到第三、四行上得 1 2 x1 2 x2 2 x2 2 x3 1 4 x3 2 4 x3 2 2 0 0 0 2 2 0 0 0 2 4 4 | | | | 1 1 2 2 12

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将第三行的-1 倍加到第四行上得 1 2 x1 2 x2 2 x2 2 x3 1 4 x3 2 0 0 2 0 0 0 2 2 0 0 0 2 4 0 | | | | 1 1 2 0

再将第三行乘以-1/4 得 1 2 x1 2 x2 2 x2 2 x3 1 1 x 3 2 0 0 2 0 0 0 2 2 0 0 0 2 1 0 | | | | 1 1 1 2 0 13

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定义1.2.1 矩阵的初等行变换是指下述矩阵变换之 一: I. 交换两行的位置; 并用记号 ri rj 表 i, j 行互换;

II. 某一行乘以一个非零数, 并用记号kri表第i行乘以数k( 0);

III. 某一行乘以一个数后加到另一行上 , 并用记号kri+rj 表第 i 行乘以数 k 后加到第 j 行上.

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上述方程组的求解用紧凑的形式写为： 0 2 2 4 2 2 0 2 2 0 2 2

2 | 1 0 | 1 r1 r2 | 2 2 | 1 4

2 0 2 2 0 2 2 2| 1 | 1 | 3 | 3

| 1 | 1 | 2 | 1

2 2 0 0 2 2 r1 r3 2 r1 r4 0 2 2 0 2 2

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2 2 0 0 2 2 r2 r3 r2 r4 0 0 4 0 0 4 2 2 0 0 2 2 r3 r4 0 0 4 0 0 0

| 1 | 1 | 2 | 2 | 1 | 1 | 2 | 0 16