ch3函数逼近与曲线拟合

数值分析

数 值 分 析Computational Method

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Chapter 3 函数逼近

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第三章 函数逼近与曲线拟合 设函数 y = f ( x ) 的离散数据(有误差)为x y,

x0 y0

x1 y1

x2 y2

xn yn

希望找到简单函数 P( x ) 整体上有 是某度量，ε > 0 是指定精度。

f ( x ) P( x ) < ε

,

P( x ) 是存在的。例如， f ( x ) ∈ C [0,1], 多项式 n k k k n k P ( x ) = ∑ f C n x (1 x ) , P( x ) 一致收敛于 n k =0 f ( x ).

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但收敛慢即对 ε > 0,要求 n 很大，从而计算不便。 换个思路，固定 n ,找

P( x ) 使

f ( x ) P( x ) = min f ( x ) Φ( x )

Φ( x ) = Φ( x, α 0 , α1 , , α n ), α i 是待定参数 S = span{ 0 ( x ), 1 ( x ), , n ( x )}

Φ( x ) 属于某固定类型函数，一般表示为，

(i = 0,1, , n) 。通常，将函数类取为线性空间，= {Φ( x ) = α 0 0 ( x ) + α1 1 ( x ) + + α n n ( x )}河海大学理学院《数值分析》

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{ 0 ( x ), 1 ( x ), , n ( x )} 要求是最少的 { i ( x )}. 即不能再有 { 0 ( x ), 1 ( x ), , k ( x )} (k < n ) 代替 { 0 ( x ), 1 ( x ), , n ( x )}. 也就是说 { 0 ( x ), 1 ( x ), , n ( x )} 线性无关。= {Φ( x ) = α 0 + α1 x + α 2 x + + α n x22 n

S = span{ , x, x , , x } 12 n

n

已不能满足要求，还需要 { 0 ( x ), 1 ( x ), , n ( x )} 与正交，权函数等概念。

{1, x, x , , x }是线性无关的，但仅线性无关

}

正交，这就需要引进范数与赋范线性空间，内积河海大学理学院《数值分析》

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3.1 函数逼近的基本概念 .

定义 设集合 S 是数域 P 上的线性空间，元 素 x1 , x2 , , xn ∈ S ,若存在不全为零的数 α1 , α 2 , ,α n ∈ P ,使得 α1 x1 + α 2 x2 + + α n xn = 0 则称 x1 , x2 , , xn 线性相关，否则，若仅对

α1 = α 2 = = α n = 0成立，则称 x1 , x2 , , xn 线性无关 线性无关。

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S

定义 设 S 是线性空间， x ∈ S ,若存在唯一 实数 ，满足 x (1)正定性： x ≥ 0 ,当且仅当 x = 0 时， = 0 ; α (2)齐性：αx = α x , ∈ P ; (3)三角不等式： x + y ≤ x + y ,x, y ∈ S 。 则称 是线性空间 S 上的范数 S 与 一起称 范数， 范数 ， 为赋范线性空间 赋范线性空间。 赋范线性空间

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(离散) x = ( x1 , x2 , , xn ) ∈ S 1-范数： x 1 = ∑ xin i =1

常见范数： 常见范数：

2 2-范数： x 2 = ∑ xi i=1 n

1 2

∞ -范数： x ∞ = max xi 1≤i≤ n例如：

x = (1,0, 2)

x 1 = 3, x 2 = 5

,

x∞ =2

。河海大学理学院《数值分析》

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(连续) f ( x ) ∈ C[a, b]b

常见范数： 常见范数：

1-范数： f ( x ) 1 = ∫a f ( x )dx , 2-范数：

f (x) 2

b f 2 ( x )dx = ∫ a

1 2

∞ -范数： f ( x ) ∞ = max f ( x ) , [a,b ]

。

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例如：

f ( x ) = x, [a, b] = [ 1,1]1 1 1 0

f ( x ) 1 = ∫ x dx = 2∫ xdx = 1,

f (x) 2,

1 x 2 dx = 2 1 x 2 dx = 2 = ∫ ∫0 1 3[ 1,1]

1 2

1 2

f ( x ) ∞ = max x = 1

。

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定义 设 S 是线性空间， x, y ∈ S ,若存在唯一 数(复数)k 与之对应，记为 ( x, y ) ,满足：

(1)( x, y ) = ( y, x ) ; (2)(αx, y ) = α ( x, y ) ; (3)( x + y, z ) = ( x, z ) + ( y, z ) ; ( (4)( x, x ) ≥ 0 ,当且仅当 x = 0 时，x, x ) = 0 。 则称 ( x, y ) 是线性空间 S 上 x 与 y 的内积 内积。定 内积 义了内积的线性空间 S 称为内积空间 内积空间。 内积空间 若 ( x, y ) = 0 ,则称向量与向量正交 正交。 正交

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( 定义 设 (a, b ) 是有限或无限区间， a, b ) 上的函 数 ρ ( x ) 满足： b ( (1) ∫ x k ρ ( x )dx 存在(有限数),k = 0,1,2, ) ; b a (2) g ( x ) ≥ 0,若∫a g ( x )ρ ( x )dx = 0 g ( x ) = 0 . 权函数。 则称 ρ ( x ) 为 (a, b ) 上的权函数 权函数 定义在 (a, b ) 上的函数可定义内积为： b ∫ f ( x)g ( x)ρ ( x)dx = ( f , g ) ,a

若 ( f , g ) = 0 ,则称 f 与 g 在 (a, b )上带权ρ ( x ) 带权 正交。 正交

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若函数族 { i ( x ) i = 0,1,2, } 两两正交，即

j≠k 0 j , k = Ak > 0 j = k 则称 { i ( x )} 是正交函数族 正交函数族， 正交函数族 若又有 Ak = 1 就称 { i ( x )}为标准正交函数族 标准正交函数族。 标准正交函数族 例如： {1, cos x, sin x, cos 2 x, sin 2 x, , cos nx, sin nx, } 是[ π ,π ] 上的正交函数族。

(

)

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若 { i ( x )} 又是多项式，则称 { i ( x )} 为正交多 正交多 项式族。 项式族 正交的函数(向量)组当然是线性无关的函 数(向量)组。 可以用施密特正交化方法，将线性无关函数 (向量)组改造为正交函数(向量)组。

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3.2 正交多项式

1. 施密特正交化方法 将线性无关的函数(向量)组 x1 , x2 , , xn 改 造为正交函数(向量)组 ε1 , ε 2 , , ε n :

ε1 = x1

ε 2 = x2 ( x2 , ε1 ) ε 1 (ε1, ε1 ) (x3 , ε1 ) ε (x3 , ε 2 ) ε ε 3 = x3 2 1 (ε 2 , ε 2 ) (ε1 , ε1 ) 河海大学理学院《数值分析》

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(xn , ε1 ) ε (xn , ε 2 ) ε (xn , ε n 1 ) ε ε n = xn 1 2 n 1 (ε1, ε1 ) (ε 2 , ε 2 ) (ε n 1, ε n 1 ) k 1 ( xk , ε i ) ε (k = 1,2, , n) 简写为: ε k (

x ) = xk ∑ i i =1 (ε i , ε i )

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