考点18平面向量的概念及其线性运算、平面向量的基本定理及其向量

考点18平面向量的概念及其线性运算、平面向量

的基本定理及其向量坐标运算

一、选择题

1.（2011·广东高考文科·Ｔ3）已知向量a=（1,2），b=（1,0），c=（3,4）.若 为实数，(a b)∥c，则 =（ ）

（A）. （B）. （C）.1 （D）.2

b用坐标表示，然后根据坐标表示向量平行的条件，列出关【思路点拨】把a

1

412

于 的方程，求得 的值.

b (1,2) (1,0) (1 ,2),由(a b)//c得，4(1 ) 3 2 0，解得 .【精讲精析】选B.a

2

故选B.

2.（2011·广东高考文科·Ｔ6）已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式

0 x 2 组 y 2

x 2y

给定.若M(x，y)为D上动点，点A的坐标为

1)．则z 的最

大值为（ ）

（A）.3 （B）.4 （C）

（D）

【思路点拨】本题主要考查向量的坐标表示及坐标运算.利用数量积的坐标运算，把z用点M的坐标表示，然后由x、y的最值求得z的最值. 【精讲精析】选B.设M（x,y），则OA (

2,1)

，OM (x,y)，z (x,y) (

2,y 2

2,1) 2x y，则

当x与y都取得最大值时z取得最大值，此时x

2 2 2 4，故选

，所以z的最大值为

B.

3.（2011·广东高考理科·Ｔ5）在平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组

0 x

给定，若M(x,y)为D上的动点，点A

的坐标为，则z OM OA y 2

x 的最大值为 A.42 B.

2

C.4 D.3

【思路点拨】本题主要考查向量的坐标表示及坐标运算.利用数量积的坐标运算，把z用点M的坐标表示，然后由x、y的最值求得z的最值. 【精讲精析】选C.设M（x,y），则OA (

2,1)

，OM (x,y)，z (x,y) (2,1) 2x y，则

当x与y都取得最大值时z取得最大值，此时x 故选C.

2,y 2，所以z的最大值为2 2 4.

4.（2011·山东高考理科·Ｔ12）设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两

11

不同的四点，若A1A3 A1A2 (λ∈R)，A1A4 A1A2(μ∈R)，且 2,则称A3，

A4调和分割点A1，A2 ,已知平面上的点C,D调和分割点A，B则下面说法正确的

是

（A）C可能是线段AB的中点 （B）D可能是线段AB的中点 （C）C，D可能同时在线段AB上 （D）C，D不可能同时在线段AB的延长线上

【思路点拨】本题为信息题，由A1A3 A1A2 (λ∈R)，A1A4 A1A2(μ∈R)知:四

点A1，A2，A3，A4在同一条直线上,且不重合.因为C,D调和分割点A,B,所以A,B,C,D四点在同一直线上,且 2,然后逐个代入验证.

【精讲精析】由A1A3 A1A2 (λ∈R)，A1A4 A1A2(μ∈R)知:四点A1，A2，A3，A4在同一条直线上,且不重合.

1c

1d

因为C,D调和分割点A,B,所以A,B,C,D四点在同一直线上,且 2, 选项A中

1d

111

c ，不满足；同理选项B也不正确；选项C中，0 c 1,0 d 1, 2.也不正2cd

1

c

确；故选D.

5.（2011·山东高考文科·Ｔ12）设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两

11

不同的四个点，若A1A3 A1A2 (λ∈R)，且 2,则称A3，A1A4 A1A2(μ∈R)，

A4调和分割A1，A2 .已知点C(c，o),D(d，O) (c，d∈R)调和分割点A(0，0)，

B(1，0)，则下面说法正确的是 （A）C可能是线段AB的中点 （B）D可能是线段AB的中点 （C）C，D可能同时在线段AB上 （D）C，D不可能同时在线段AB的延长线上

【思路点拨】本题为信息题，由A1A3 A1A2 (λ∈R)，A1A4 A1A2(μ∈R)知:四点A1，A2，A3，A4在同一条直线上,且不重合.因为C,D调和分割点A,B,所以A,B,C,D四点在同一直线上,且 2,然后逐个代入验证.

【精讲精析】由A1A3 A1A2 (λ∈R)，A1A4 A1A2(μ∈R)知:四点A1，A2，A3，

A4在同一条直线上,且不重合.

1c

1d

因为C,D调和分割点A,B,所以A,B,C,D四点在同一直线上,且 2, 选项A中c ，不满足；同理选项B也不正确；选项C中，0 c 1,0 d 1, 不正确；故选D. 二、填空题

6.（2011·北京高考理科·T10）

已知向量a b (0, 1),c (k，若a 2b与

c共线，则k= .

12

1c

1

2.也d

1c1d

【思路点拨】先求坐标，再利用向量共线定理.

【精讲精析】

1.a 2b .由a 2b与c共线得，3 3k 0，解得k 1.

7.（2011·湖南高考文科T13）设向量,满足|| 25, (2,1),且与，则a的坐标为____

【思路点拨】本题考查两个方向相反的两个向量的表示方法以及 向量的坐标运算.

【精讲精析】答案：(-4,-2). 方向相反， 设 ( 0), (2,1),

(2 , ), || 5, 4 2 2 20, 2 4, 0, 2. ( 4, 2).

8.（2011.天津高考理科.T14）已知直角梯形ABCD中，

AD//BC, ADC 90,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点，则PA+3PB的最小值为

__________

【思路点拨】合理建立坐标系，转化为坐标运算。

【精讲精析】答案：5建立如图所示的坐标系，则A（2,0），设B(1，t),P(0,m),

PA=(2,-m),PB（1,t-m）,\PA+3PB=(5,3t-4m),故

|PA+3PB|=5