z2.1.1曲线与方程的概念

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2.1.1曲线与方程的概念 2.1.1曲线与方程的概念

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平面解析几何研究的主要问题是： 平面解析几何研究的主要问题是： (1) 根据已知条件，求出表示平面曲线的 根据已知条件， 方程； 方程； (2) 通过方程，研究平面曲线的性质. 通过方程，研究平面曲线的性质. 用坐标系研究图形性质的基本思路是， 用坐标系研究图形性质的基本思路是， 借助于坐标系， 点与坐标， 借助于坐标系，把点与坐标，曲线与方程 联系起来，从而达到形与数的结合； 形与数的结合 联系起来，从而达到形与数的结合；再通 过方程对曲线的几何性质进行研究， 曲线的几何性质进行研究 过方程对曲线的几何性质进行研究，把几 何问题转化为代数问题来解决。 何问题转化为代数问题来解决。

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让我们回顾一下圆及其方程的意义。 让我们回顾一下圆及其方程的意义。 如图，一点O为圆心，半径为r(r>0)的圆， 如图，一点O为圆心，半径为r >0)的圆， 的圆 记作⊙ 记作⊙(O, r),以O为原点建立直角坐标系 xOy,我们可以得到圆的方程x xOy,我们可以得到圆的方程x2+y2=r2. 上述圆的方程表示的意义是： 上述圆的方程表示的意义是： (1)设M(x0, y0)是⊙(O, r) 上任意一点，则它到圆心O 上任意一点，则它到圆心O 的距离等于r 的距离等于r,y M(x 0, y 0) r x O

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因而满足方程

x0 2 + y0 2 = r ,即x2+y2=r2.

这就是说( 这就是说(x0, y0)是此方程的一个解； 是此方程的一个解； 如果点( 如果点(x0, y0)不在⊙(O, r)上，则必有， 不在⊙ 则必有，

x0 + y0 ≠ r2 2

即有x 即有x2+y2≠r2. (x0, y0)就不会是方程 (x 的解。 x2+y2=r2的解。

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(2)如果(x0, y0)是方程x2+y2=r2.的一个解， 如果( 是方程x 的一个解， 则可以推得， 则可以推得， x0 2 + y0 2 = r 即点M 即点M(x0, y0)到圆心的距离等于r,点M 到圆心的距离等于r 在 ⊙ (O , r )上 ； 如果( 如果(x0, y0)不是方程x2+y2=r2.的解，则 不是方程x 的解， 可以推出 x0 2 + y0 2 ≠ r 即点M 即点M(x0, y0)不在⊙(O, r)上。 不在⊙

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以上两点说明了⊙ 以上两点说明了⊙(O, r)上的点与方程 x2+y2=r2的解之间有一一对应关系。 的解之间有一一对应关系。 一一对应关系 我们知道⊙ 我们知道⊙(O, r)可以看成一个动点M 可以看成一个动点M 运动的轨迹，于是在坐标平面上， 运动的轨迹，于是在坐标平面上，当⊙(O, r)上一个动点M运动时，点M的坐标(x, y) 上一个动点M运动时， 的坐标( 随着点M的运动而变化， 随着点M的运动而变化，点M运动的轨迹 可以用方程x 可以用方程x2+y2=r2来表达。 来表达。

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一般地， 一般地，一条曲线可以看成动点运动的 轨迹， 轨迹，曲线的方程又常称为某种条件的点 的轨迹方程。 的

轨迹方程。 一个二元方程总可以通过移项写成F 一个二元方程总可以通过移项写成F(x, y)=0的形式。其中F(x,y)是关于x, y的解 )=0的形式 其中F 的形式。 是关于x 析式，例如y=x2可以写成x2-y=0的形式。 析式，例如y 可以写成x =0的形式。 的形式

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在平面直角坐标系中，如果曲线C与方 在平面直角坐标系中，如果曲线C )=0之间具有下列关系 之间具有下列关系： 程F(x,y)=0之间具有下列关系： 曲线C上的点的坐标都是方程F (1)曲线C上的点的坐标都是方程F(x, y)=0的解； )=0的解； 的解 (2)以方程F(x,y)=0的解为坐标的点 以方程F )=0的解为坐标的点 都在曲线C 都在曲线C上。 方程F )=0的曲线 的曲线， 那么曲线C叫做方程 那么曲线C叫做方程F(x,y)=0的曲线， 方程F )=0叫做曲线C的方程。 叫做曲线 方程F(x,y)=0叫做曲线C的方程。

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这就是说，如果曲线C的方程是F 这就是说，如果曲线C的方程是F(x, y)=0. F( 则M (x,y)∈C F(x,y)=0. 因此方程F 因此方程F(x,y)=0可作为描述曲线C的 )=0可作为描述曲线 可作为描述曲线C 特征性质。曲线C用集合特征性质描述法， 特征性质。曲线C用集合特征性质描述法， 可以描述为C 可以描述为C={ M (x,y)| F(x,y)=0}. 在坐标系选定以后， 在坐标系选定以后，曲线被它的方程所 惟一确定，但曲线的方程表示不是惟一的 不是惟一的， 惟一确定，但曲线的方程表示不是惟一的， 除与我们选取的坐标系有关外， 除与我们选取的坐标系有关外，在同一坐 标系下，还会有同解方程。 标系下，还会有同解方程。

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由两条曲线的方程， 由两条曲线的方程，可求出这两条曲 线的交点的坐标。 线的交点的坐标。 已知两条曲线C 的方程分别为F 已知两条曲线C1和C2的方程分别为F(x, y)=0,G(x,y)=0,则交点的坐标必须满 )=0, )=0, 足上面两个方程，反之如果( 足上面两个方程，反之如果(x0, y0)是上面 两个方程的公共解，则以( 两个方程的公共解，则以(x0, y0)为坐标的 点必定是两条曲线的交点。 点必定是两条曲线的交点。因此求两条曲 的交点坐标， 线C1和C2的交点坐标，只要求方程组 F ( x, y ) = 0 的实数解就可以得到。 的实数解就可以得到。 G ( x , y ) = 0

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思考与推论： 思考与推论： 下面两个命题正确吗？ 下面两个命题正确吗？ (1)到两条坐标轴距离相等的点的轨迹 方程是y 方程是y=x; 不正确 (2)如图，MA和MB分别 如图，MA和MB分别 是动点M 是动点M(x,y)与两定点 A(-1,0),B(1,0)的连线， 0), (1,0)的连线 的连线， A AMB为直角的动点轨迹 使∠AMB为直角的动点轨迹 -1 方程是： 方程是：x2+y2=1. 不正确y M(x, y)

B x O 1

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例1. 已知两圆C1:x2+y2+6x-16=0,C2: 已

知两圆C +6x 16=0, x2+y2-4x-5=0, 5=0, 求证：对任一不等于- 的实数λ 求证：对任一不等于-1的实数λ,方程 x2+y2+6x-16+λ(x2+y2-4x-5)=0是通过两 +6x 16+λ 5)=0是通过两 圆交点的圆的方程。 圆交点的圆的方程。 证明：方程x +6x 16+λ 证明：方程x2+y2+6x-16+λ(x2+y2-4x- 5)=0可以变形为 5)=0可以变形为 (1+λ)x2+(1+λ)y2+(6-4λ)x-16-5λ=0, (1+λ +(1+λ +(6- 16- 因为λ 因为λ≠-1,得

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3 2λ 2 9λ + 9λ + 25 2 (x + ) +y = 2 1+ λ (1 + λ )2

因为方程中等号右端大于0 因为方程中等号右端大于0,所以它是 一个圆的方程，两圆的交点坐标满足已知 一个圆的方程， 圆的方程，当然也满足这个方程。因此此 圆的方程，当然也满足这个方程。 方程表示的圆通过两圆交点。 方程表示的圆通过两圆交点。

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例2 证明以坐标原点为圆心，半径等于5的 证明以坐标原点为圆心，半径等于5 圆的方程是x 圆的方程是x2 +y2 = 25. 证明：(1)设M(x 证明：(1)设M(x0,y0)是圆上任意一点.因为 是圆上任意一点. 点M到坐标原点的距离等于5,所以 到坐标原点的距离等于5x02

+ y0

2

= 5,

也就是x 也就是x02 +yo2 = 25. 即 (x0,y0) 是方程x2 是方程x +y2 = 25的解. 25的解 的解.

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(2)设 (x0,y0) 是方程x2 +y2 = 25的解，那么 (2)设 是 …… 此处隐藏：2479字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……