第九讲 几何图形的计数提高训练解答

第九讲 几何图形的计数提高训练解答

第九讲 几何图形的计数提高训练解答

在数学竞赛试题和中考中，经常出现一些几何计数问题，所谓几何计数是指 计算满足一定条件的图形的个数.它的内容比较新颖有趣，为了准确计数， 必须要有一套计数的方法，否则越数头绪越杂乱，很难得出准确的结果. 本讲将较系统地介绍初中数学中所使用的一些计数方法.

学习计数方法不仅仅使我们获得一定的数学知识和方法，更重要的是使我们感受到数学中的一些重要思想的运用，如数形结合思想、分类讨论思想和转 化的思想，分类讨论思想在这里尤其突出，我们所使用的所有计数方法都离 不开分类. 下面让我们通过例题研究和熟悉几何计数的方法吧！

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例1

(一)数 线 段你是怎样数的？

数线段时，可以线段的左端点进行分类，逐类分别数出线段条数后相加 AB、 AC、 AD、 AE、 AF 共5条 BC、BD、BE、BF共4条 注意：这里涉及到数学中很重要的思想方 法 —— 分类的思想方法。在几何计数中怎 CD、CE、CF共3条 AB 、BC 、 CD 、 DE 、 EF; AC 、 BD 、 样分类？本例所介绍的是方法( 1):按照 CE 、 DF;AD 、 BE 、 CF;AE 、 BF; DE、DF共2条 包含同一图形进行分类；( 2)先划分出基 AF共16条 EF共1条 本图形，再按照包含基本图形的数目分 合计有5+4+3+2+1=15(条) 类.

如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点)(或含有n个“基本线段”),那么 这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为n+(n-1)+…+2+1=基础训练 1. 共有6×(6+1)÷2=21(条)

n(n 1) 2

.

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(二)数 角例2 数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边E D

以OA为一条边的角有：

C ∠AOB ∠AOC ∠AOD ∠AOE共4个 同样还有： B ∠BOC,∠BOD,∠BOE共3个 ∠COD ,∠COE共2个 O A ∠DOE共1个 E 合计有4+3+2+1=10(个) D C 上面我们采用的方法是分类法 这里采用的方法是“对应法”,这也是计数中 E1 D1 B 4×(4+1)÷2 常用的方法，这种方法实际上是数学的另一思 C1 =10 想——转化思想的运用 B1 使用对应法时，总是在原图形中(有时需添加 O A1 A 辅助线)找出它的某一部分作对应图形 E 可用数线段的方法数如图所示的三角形(对应法) 4个基本角的和 =90°;两个相邻基本角组成的3个角的 (三)数三角形 D C 和=90 °+45 =135 因为 DE° 上有 15°; 条线段，每条线段的两端点 三个相邻基本角组成的 2个角的和=135°; 4个相邻基 与点A相连，可构成一个三角形，共有 15个 B 本角组成的 1 个角 =90 °,所以所有角的和 三角形，同样一边在BC上的三角形也有15 =90° +135°+135°+90 ° =450°. 个，所以图中共有 30 个三角形。 O A 本题的解决，既有分类法又有对应法

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基础训练5 下图中共有

个三角形

A

顶点为O,且 一边在

AB上的三角形有3×4÷2=6(个); 一边在BC上的三角形有4×5÷2=10(个); 一边在AC上的三角形有 3×4÷2=6(个), 再加△ABC,所以共有23个三角形.

O B A E G B M P Q N D F H C C

(四)数长方形、平行四边形和正方形图中共有---------个长方形 线段AM与AE对应着长方形AMPE, AM与AG对应着长方形AMQG, AM与AB对应着长方形AMNB, AM与EG对应着长方形EPQG,

AM与EB对应着长方形EPNB, AM与GB对应着长方形GQNB. 就是说AM与AB边的6条线段都分别对应着一个长方形，共6个长方形 AD边上共有3条线段，其余两条线段AD和MD也都分别对应着6个长方形， 所以共有3×6=18个长方形 一般的，类似于这样的长方形(平行四边形),若其横边上共有n条线段， 纵边上共有m条线段，则图中共有长方形(平行四边形)mn个例4 横边上有8×(8+1)÷2=36条线段，纵边上有7×(7+1)÷2=28条线段， 所以共有36×28=1008个平行四边形.

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例6 (雨露招生试题)如图，图中平行四边形的个数为 思考：能否像例4那样数平行四边形？ 可以将图形分割成几部分，使每一部分都像例4那样的图形 但分割的块数越少越好

假设分为如下图所示的两块，那么每块中的 平行四边形的个数都是

2 (2 1 ) 4 (4 1 ) 30 2 2思考：原图中平行四边形的个数是否等于60? 思考：如最右侧的图形中也有30个平行四边形， 那么原图中平行四边形的个数是否是3×30=90? 不是90,还应减去如下图所示的两个“田字格”中的各9个平行四边形，因为这18个 平行四边形已经包含在前60个之中. 所以，原图形中平行四边形的个数是90-18=72. 注意：在使用分类计数法时，一定要注意是否有遗漏或重复计数的！

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例5 如左、中、右三图，各包含多少个正方形？

为便于叙述，我们设一个小正方形的边长为1,那么 左图中边长为1的正方形的个数是 3×2=6 边长为2的正方形的个数是 2×1=2 所以左图中共有正方形 3×2+2×1=8(个) 这里所采用的方法是分类 中图中边长为1的正方形的个数是 4×3=12 边长为2的正方形的个数是 边长为3的正方形的个数是 所以中图中共有正方形 右图中边长为1的正方形的个数是 3×2=6 2×1=2 6×4=24 5×3=15 4×2=8 3×1=3 6×4+5×4+4×2+3×1=50(个)

法中的另一种，是： (3)按照图形的大小分类

4×3+3×2+2×1=20(个)

边长为2的正方形的个数是边长为3的正方形的个数是 边长为4的正方形的个数是 所以中图中共有正方形

如果一横行有m个小正方形，一竖行有n个(假设m≥n)小正方形， 那么图中正方形的个数是mn+(m–1)(n–1)+…+(m–n+1)(n–n+1)

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例7

你打算怎样数图中的三角形？ F

A

B 5 第1类：与三角形ABE形状有某些相似的三角形有▁▁个 5 第2

类：与三角形ABF形状有某些相似的三角形有▁▁个 10 第3类：与三角形ABG形状有某些相似的三角形有▁▁个 5 第4类：与三角形ACD形状有某些相似的三角形有▁▁个 5 第5类：与三角形AFL形状有某些相似的三角形有▁▁个 5 第6类：与三角形AGD形状有某些相似的三角形有▁▁个 所以图中的三角形共有35个 这里所采用的方法是分类法中的另一种，是： (4)按照图形的形状分类 也可以说是 (5)按照图形所处的位置分类

L K H D

E

G C

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例8(华罗庚金杯竞赛题)下图中有

个正方形，有

个三角形.

能否将图中的正方形分类，按照不同类型分别数 出其中的正方形个数？ 分为两类，一类是有一组对边在水平方向的正 方形，如左图 这类正方形的个数是 6×6+5×5+4×4+3×3+2×2+1×1=91 除上一类为，还有 4 个正方形 共有95个正方形 这里所使用的方法是分类法中的(4)按照图形的形状分类 直角边长为1的三角形有 6×6×2=72个 直角边长为2的三角形 1--2行8个2--3 , 行 8个, 5--6行 6个,共30个 , 行 2个4--5 , 行 6个3--4 直角边长为3的三角形 1--2行 4个, 3--5行 2个 4--6行 4个,共10个 3--6行2个 思考：还有漏数的 …… 此处隐藏：4881字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……