中央财经大学微积分试卷集合

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中财05-06学年微积分试卷下

.

一. 填空题 (每空3分,共18分)

1. 2.

ba 0

f x b dx . e

2x

dx .

3. 关于级数有如下结论：

① 若级数 un un 0 收敛，则

n 1

1un1un

发散. 收敛.

n 1

② 若级数 un un 0 发散，则

n 1

n 1

③ 若级数 un和 vn都发散，则 (un vn)必发散.

n 1

n 1

n 1

④ 若级数 un收敛， vn发散，则 (un vn)必发散.

n 1

n 1

n 1

⑤ 级数 kun（k为任意常数）与级数 un的敛散性相同.

n 1

n 1

写出正确结论的序号 . ．．4. 设二元函数z xex y (x 1)ln 1 y ，则dz

(1,0)

5. 若D是由x轴、y轴及2x + y–2 = 0围成的区域，则

D

dxdy .

6. 微分方程xy y 0满足初始条件y(1) 3的特解是 .

二. 单项选择题 (每小题3分,共24分)

1. 设函数f(x) (A) 2. 设I1

23

D

x0

(t 1)(t 2)dt，则f(x)在区间[-3，2]上的最大值为（ ）.

103

(B)

2

2

(C) 1 (D) 4

cos

2

x yd ,I2

2

cos(x

D

2

y)d ,I3

2

cos(x

D

2

y)d ，其中

22

D {(x,y)x y 1}，则有（ ）.

(A)I1 I2 I3 (B) I3 I2 I1 (C) I2 I1 I3 (D) I3 I1 I2

3. 设un 0,n 1,2,3 ，若 un发散， ( 1)n 1un收敛，则下列结论正确的是( ).

n 1

n 1

(A) u2n 1收敛， u2n发散 (B) u2n收敛， u2n 1发散

n 1

n 1

n 1

n 1

(C) (u2n 1 u2n)收敛 (D) (u2n 1 u2n)收敛

n 1

n 1

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4. 函数f(x,y)在点P(x,y)的某一邻域内有连续的偏导数，是f(x,y)在该点可微的( )条件.

(A) 充分非必要 （B）必要非充分 （C）充分必要 （D）既非充分又非必要 5. 下列微分方程中，不属于一阶线性微分方程的为（ ）. ．．．

(A) xy y

xcoslnxlnx

(B) xy lnx y 3x(lnx 1)，

(C) (2y x)y y 2x (D) (x2 1)y xy 2 0

6. 设级数 an绝对收敛，则级数 (1

n 1

n 1

1n

n

)an（ ）.

(A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 不能判定敛散性散 7. 设F(x)

x

x 2

e

sint

sintdt，则

F (x)（ ）.

(A) 为正常数 (B) 为负常数 (C) 恒为零 (D) 不为常数 8. 设u f(x y,y z,t z)，则

u x

u y

u z u t

（ ）.

(A) 2f1 (B) 2f2 (C) 2f3 (D) 0 三. 计算下列各题(共52分)

1.

2

2

cosx cosxdx（5分）

3

2. 求曲线y x 2x,y 0,x 1,x 3所围成的平面图形的面积. （6分）

2

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3. 已知二重积分 x2d ，其中D由y 1 x2,x 1以及y 0围成.

D

(Ⅰ) 请画出D的图形，并在极坐标系下将二重积分化为累次积分；（3分） (Ⅱ) 请在直角坐标系下分别用两种积分次序将二重积分化为二次积分；（4分） (Ⅲ) 选择一种积分次序计算出二重积分的值.（4分）

4. 设函数u f x,y,z 有连续偏导数，且z x,y 是由方程 xe

u u

的二元函数，求 及du .（8分） ,

x y

z

ye

y

ze所确定

z

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5. 求幂级数

n 1

( 1)x

2n

n2n

的收敛域及和函数S(x).（8分）

6. 求二元函数f(x,y) (x2 y)e2y的极值.（8分）

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7. 求微分方程y 2y e 2x的通解，及满足初始条件f(0) 1,f (0) 0的特解.(6分) 四. 假设函数f(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导，且f (x) 0，记

F(x)

1x a

xa

f(t)dt，证明在(a, b)内F (x) 0.（6分）