15.2多面体的直观图

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多面体的直观图

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什么叫直观图 ? 把空间图形画在平面内，使得既富有立体感，又 把空间图形画在平面内，使得既富有立体感， 能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系 的图形. 的图形.D′A′ B′

C′

D A B

C

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正投影几何体

圆柱、圆锥、 圆柱、圆锥、球的三视图正视图 侧视图 俯视图

·

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正投影几何体

棱柱、 棱柱、棱锥的三视图正视图 侧视图 俯视图

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正投影主要用于绘制三视图，在工程制 正投影主要用于绘制三视图， 图中被广泛运用。 图中被广泛运用。 但三视图的直观性较差，因此绘制物体 但三视图的直观性较差， 的直观图一般采用斜投影或中心投影。 的直观图一般采用斜投影或中心投影。

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中心投影

在中心投影中，水平线(或垂直线) 在中心投影中，水平线(或垂直线)仍保 持水平(或垂直), ),但斜的平行线则会 持水平(或垂直),但斜的平行线则会 相交，交点称为消点 消点。 相交，交点称为消点。

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中心投影虽然可以显示空间图形的直观 形象，但作图较复杂，又不易度量。 形象，但作图较复杂，又不易度量。 立体几何中常用斜投影来画空间图形的 立体几何中常用斜投影 斜投影来画空间图形的 直观图，这种画法叫斜二测画法 斜二测画法。 直观图，这种画法叫斜二测画法。 先观察下面的图形，总结投影变化规律。 先观察下面的图形，总结投影变化规律。

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斜投影

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投影规律： 投影规律： 1.平行性不变 但形状、长度、夹角会改变； 1.平行性不变 但形状、长度、夹角会改变； 平行性不变;但形状 2.平行直线段或同一直线上的两条线段的比不变； 2.平行直线段或同一直线上的两条线段的比不变 平行直线段或同一直线上的两条线段的比不变； 3.在太阳光下，平行于地面的直线在地面上的投 3.在太阳光下 平行于地面的直线在地面上的 在太阳光下， 的直线在地面上的投

影长不变； 影长不变；等等。

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先讨论水平放置的平面图形的画法。 先讨论水平放置的平面图形的画法。 观察画水平放置的正五边形的直观图 的步骤。 的步骤。 AB C E D

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观察画水平放置的正五边形的直观图的步骤。 观察画水平放置的正五边形的直观图的步骤。

yD E N C E1 N1

y1 D1 ·

oA M B

xA1

·1 M

o

·1B1

C1

x1

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yD E N C E1 N1 M1

y1 o

o

xA1

·1

D1 ·

C1

·

x1

B1

A M B 总结画法规则： 总结画法规则： 在已知图形中取水平平面，取互相垂直的x轴和 轴和y轴 1、在已知图形中取水平平面，取互相垂直的 轴和 轴， 两轴交于O点 两轴交于 点； 画直观图时把它们画成对应的x’轴 2、画直观图

时把它们画成对应的 轴、y’轴,它们交于 , 轴 它们交于O’, 并使∠ o =45 ),; 并使∠x’oy’=450(或1350),; 已知图形中平行于x 轴的线段， 3、已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中分别 画成平行于x 轴 轴的线段( 画成平行于x’轴、y’轴的线段(即平行性不变); 轴的线段 即平行性不变); 已知图形中平行于x轴的线段， 4、已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度 不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半( 不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半(即横不变 纵折半)。 纵折半)。 是为斜二测画法。 是为斜二测画法。

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例1.用斜二测画法画水平放置的六边形的直观图

(1 ) 在 六 边 形 ABCDEF 中 ， 取 AD所 在 的 直 线 为 X轴 ，对 称 轴 MN所 在 直 线 为 Y轴 ,两 轴 交 于 点 O。 画 相 应 的 X ′轴 和 Y ′轴 ， 两 轴 相 交 于 点 O ′,使 ∠ x ′Oy ′=45 o

yFM

E DC

y′

AB

O

x

O

x′

N

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( 2 )以 O ′为 中 心 , 在 X ′上 取 A ′D ′= A D , 在 y ′轴 上 取1 M ′N ′= M N .以 点 N ′为 中 心 , 画 B ′ C ′ 平 行 于 x ′ 轴 , 2 并 且 等 于 B C ; 再 以 M ′为 中 心 , 画 E ′F ′平 行 于 x ′ 轴 , 并 且 等 于 EF.

yy′

F

M

EA′

F ′ M ′ E′N′

AB

O

DC

x

B′

O′

D′

C′

x′

N

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( 3) 连接A′B′,C′D′,E′F′,F′A′,并擦去辅助线x′轴和y′轴,便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A′B′C′D′E′F′

yFM

EA′

y′

F ′ M ′ E′N′

AB

O

DC

x

B′

O′

D′

C′

x′

N

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( 3) 连接A′B′,C′D′,E′F′,F′A′,并擦去辅助线x′轴和y′轴,便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A′B′C′D′E′F′

yFM

EDC

AB

O

x

N