华东理工大学高等数学(下)2011期中试卷(11学分)解答

华东理工大学2011–2012学年第二学期 《高等数学（上）11学分》课程期中考试试卷解答 2012.4

一．填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）： 1、zx 2xy

x4 y2

2、 u

y xeyf1 exf2 2xycos2xf3

3、 2xyz 1

1 xy2

4、( ) (3 ) {4, 2, 2} {0, 6,10} { 32, 40, 24}

、 2

5z2x

x2 (1 x2)2

6、 x2 c(1 x2)(1 y2)

7、 y c1(x 1)2 c2

8、 x z 4 0 或 x 20y 7z 12 0。

9、y C1 C2ex C4x

3e

ze x22

10、dz 1 zdx ze y

1 zdy

二．选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）： BBACDC

三、（本题10分）求微分方程y'' 6y' 9y (x 1)e3x的通解。

解法一：（1）先求y'' 6y' 9y 0的通解

1

事实上，其特征方程为 2 6 9 0， 3

故齐次方程的通解为 y cx3x

1e3 c2xe。 3分

（2）再求原方程的一个特解

可令y x2(ax b)e3x，则 2分

y' (3ax3 (3a 3b)x2 2bx)e3x，

y'' [9ax3 (18a 9b)x2 (6a 12b)x 2b]e3x

代入原方程可得6ax 2b x 1

a 1

6,b 1x2x3

3x

2，所以一个特解为y (2 6)e 3分

（3）最后求原方程的通解

有方程的解结构定理知原方程的通解为 y (x2

2 x3

6)e3x (c1 c3x

2x)e 2分

解法二：原方程化为(y'' 6y' 9y)e 3x x 1，

即 (ye 3x)'' x 1 5分 积分两次后得到ye 3xx2x3

2 6 c1 c2x 于是通解为y (x2x3

2 6 c1 c2x)e3x 5分

四、（本题10分）

求过直线 x 2y z 1 0 2x2 2y2 z2

x y 2z 3 0 的平面使之平行于曲线 x y 2z 4在点

(1, 1,2)处的切线。

解：过直线L 的平面方程 ( ): x 2y z 1 (x y 2z 3) 0， 3分 ( )的法向：n ( ) {1 ,2 ,1 2 } 因为 (2x2 2y2 z2) (x y 2z 4)(1, 1,2) 4{ 1, 3,2}， 曲线 2x2 2y2 z2

在点(1, 1,2)处的切线方向： l { 1, 3,2} 3分

x y 2z 4

2

5由条件 n( ) l 0 ， 2分 2

所以所求平面方程：3x 9y 12z 17 0。 2分

五、（本题8分）

试证明曲面 f(x2 y2,z) 0上任一点处的法线与z 轴都相交。

解： 设M(x,y,z)是曲面上的任意一点，则曲面在M(x,y,z)点处的法线方向为

l f {2xf1,,2yf1,f2}， 3 分

经M(x,y,z)点的法线方程 L: X xY

2xf y Z z 2分

12yf1f2

由于z轴经过原点O，且 (k l) O M 0021xf21yf f21x yf2

xy所以法线与z轴相交。 2+3分

六、（本题8分）

已知 yx

1 e 是二阶线性齐次方程 (2x 1)y'' (2x 1)y' 2y 0

的一个解,求此方程的通解。

解： 用常数变易法。设方程的另一解为 y2 u(x)ex，则 2 分

y2' u'ex uex，y2'' u''ex 2u'ex uex，代入方程得

(2x 1)u'' (2x 3)u' 0， 2分 即u''2x

u' 3

2x 1

积分得 u' c(2x 1)e x。

取c 1，则 u' (2x 1)e x，积分得 u (2x 1)e x。

所以方程有一解 y2 (2x 1)， 2分

且与解y1 ex线性无关，

所以方程的通解 y cx

1e c2(2x 1)。 2分

1x y0f3