函数展开成傅里叶级数

第七节

傅里叶级数

一、三角级数,三角函数系的正交性

二、函数展开成傅里叶级数 三、正弦级数或余弦级数

一.三角级数u ( x) xnn

三角函数系的正交性2 3 n

在高等数学学习当中，接触两类基函数：n

1,x,x ,x x

sin nx u ( x) 1, sin x,cos x,sin 2 x,cos 2 x sin nx , cos nx cos nx函数在一点的性质 周期函数(整体性质)

f ( x ) a n ( x x0 ) nn 0

Fourier级数

三角级数 表达周期函数

(一)三角级数 表达周期函数简单的周期运动 :

复杂的周期运动 :f ( t ) A0 An sin(n t n )n 1 n 1

谐波分析

A0 ( An sin n cos n t An cos n sin n t )a0 令 A0 , an An sin n , bn An cos n , t x , 2 a0 (an cos nx bn sin nx ) 称为三角级数. 得级数 2 n 1

1757年,法国数学家克莱罗在研究太阳引起的摄动时, 大胆地采用了三角级数表示函数:f ( x ) A0 2 An cos nx .n 1

1 2π 其中 An 0 f ( x) cos nxdx . 2π1759年,拉格朗日在对声学的研究中使用了三角级数. 1777年,欧拉在天文学的研究中,用三角函数的正交性

得到了将函数表示成三角函数时的系数. 也就是现今教科书中傅立叶级数的系数.

在历史上,三角级数的出现和发展与求解微分方程 是分不开的. 1753年.丹 贝努利首先提出将弦振动方程的解表示为 三角级数的形式, 这为傅立叶级数题奠定了物理基础,促进了它的发展. 1822年,傅立叶在 « 热的解析理论»一书中 对于欧拉和贝努利等人就一些孤立的,特殊的情形 采用的三角级数方法进行加工处理,发展成一般理论.

傅立叶指出: 任意定义在( π , π ) 上的有界函数 f ( x)可以展开成级数

a f (x ) ~ (a cos nx b sin nx ) . 2 0 n 1 n n

其中

1 π a n π f ( x) cos nxdx (n 0,1,2...), π 1 π bn π f ( x) sin nxdx (n 1,2...). π

(二)、三角函数系的正交性1, cos x , sin x , cos 2 x , sin 2 x , cos nx , sin nx , 正交 , 即其中任意两个不同的函数之积在

上的积分等于 0 .证:

1 cos nxd x 1 sin nxd x 0 cos k x cos nx dx 1 2

cos(k n) x cos(k n) x d x 0 0机动

同理可证 : sin k x sin n x d x

cos k x sin n x d x 0

(k n )目录 上页 下页 返回 结束

但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 上的积分不等于 0 . 且有

1 1dx 2

cos 2 n x d x

2

sin 2 nx d x

1 cos 2n x 1 cos 2n x 2 cos n x , sin n x 2 2机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、函数展开成傅里叶级数问题: 1. 若函数能展开成三角级

数，ai , bi 是什么？ 2. 展开的条件是什么?设 f ( x ) 是周期为 2π 的周期函数，

且能展开成三角级数a0 f ( x ) (ak cos kx bk sin kx ) 2 k 1π

(1) 求 a0 .

π

π

π a0 f ( x )dx dx [ (ak cos kx bk sin kx )]dx π 2 π k 1

π π a0 dx ak cos kxdx bk sin kxdx π 2 π π k 1 k 1 π

a0 2 , 2

1 π 则 a0 f ( x )dx . π π( 2) 求 an .

a0 f ( x ) cos nxdx cos nxdx 2 π k 1

(利用正交性)

[ak cos kx cos nxdx bk sin kx cos nxdx ]

an cos 2 nxdx an ,

1 则 an f ( x ) cos nxdx

( n 1,2,3, ).

( 3) 求 bn .

a0 f ( x ) sin nxdx sin nxdx 2

(利用正交性)

[ak cos kx sin nxdx bk sin kx sin nxdx ] bn , k 1

1 则 bn f ( x ) sin nxdx

( n 1,2,3, ).

傅里叶系数1 an f ( x ) cos nxdx , ( n 0,1,2, ) b 1 n f ( x ) sin nxdx , (n 1,2, ) 1 2 an 0 f ( x ) cos nxdx , ( n 0,1,2, ) 或 1 2 b n 0 f ( x ) sin nxdx , (n 1,2, )

代入傅里叶系数的三角级数称为傅里叶级数

a0 (a n cos nx bn sin nx ) 2 n 1问题: 在什么条件下函数可以展开成傅里叶级数?

a0 f ( x ) 条件 ? (a n cos nx bn sin nx ) 2 n 1狄利克雷于1829年第一次对于傅立叶级数的收敛性 给出了严格的证明. 得到了现今教科书中的所谓狄利克雷判定准则.

定理(收敛定理, 展开定理)

设 f (x) 是周期为2 的

周期函数, 并满足狄利克雷( Dirichlet )条件: 1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;

2) 在一个周期内只有有限个极值点,则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有注意: 函数展成 傅里叶级数的条 件比展成幂级数 的条件低得多.

x 为连续点 f ( x) , f ( x ) f ( x ) , x 为间断点

其中 an , bn 为 f (x) 的傅里叶系数 . ( 证明略 )简介 目录 上页 下页 返回 结束

2

既

1. 设 x0 ( π , π ) 是 f ( x) 的连续点， 则有a0 S ( x ) : (an cos nx bn sin nx) f ( x ) ; 2 n 1

2. 设 x ( π , π )

则有 是 f (x) 的间断点，

1 S ( x) [ f ( x 0) f ( x 0)] ; 2

3. 当 x π , π 时， 有1 S ( x) [ f ( 0) f ( 0)] . 2

例1. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在

上的表达式为

1 , x 0 f ( x) 1, 0 x 将 f (x) 展成傅里叶级数.解: 先求傅里叶系数

1

yo

x

1

( 1) cos nx d x 0 1 c

os nx d x ( n 0 , 1 , 2 , )机动 目录 上页 下页 返回 结束

1

0

1

0