洛必达法则与泰勒公式

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学会从概貌开始。 学会从概貌开始。 比如拼图游戏， 比如拼图游戏，如果你事先 看了结果，你会很快拼出来； 看了结果，你会很快拼出来； 但是， 但是，如果你根本不知道结果是 什么，难度就会成百倍的增加。 成百倍的增加 什么，难度就会成百倍的增加。 当然， 当然，拼图以外的其它学习 也是这样。 也是这样。1

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第二节0 ∞ 1.未定式 1.未定式： , 未定式： 0 ∞

洛必达法则

两个函数 f ( x )与 F ( x ) 都趋于零 若当 x → a (或x → ∞ )时， f ( x) 或都趋于无穷大， 或都趋于无穷大， 那么极限 xlim 可能存在、也可能不 可能存在、 →a F ( x) ( x→∞ ) 存在， 通常把这种极限叫做未定式。 未定式。 存在， 通常把这种极限叫做未定式0 0 型未定式

∞ 型未定式 ∞

sin x ln x ; lim 2 等。 如 lim x→ 0 x→1 x 3x 1 tan x 4x2 ; lim 等。 如 lim 2 π x→∞ x + 1 x → 2 + 0 ln( x π ) 22

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2. 洛必达法则 lim 设：(1) f ( x ) = lim F ( x ) = 0

0 ( 型) x →a x →a 0 存在， (2)在 a的去心邻域内 f ' ( x )、 F ' ( x )存在，且 F ' ( x ) ≠ 0 f '( x) = A ( A 为有限数或者无穷大) 为有限数或者无穷大) (3) lim x →a F ' ( x ) f ( x) f '( x) lim = lim ( = A) x →a F ( x ) x →a F ' ( x )

则：

注意： 注意： 定理对于其它的极限过程也成立， (1)定理对于其它的极限过程也成立，只是要把定理叙述中 的区间作相应的变换。 的区间作相应的变换。 定理条件中，两个函数的极限同是无穷大时， (2)定理条件中，两个函数的极限同是无穷大时，定理依然 成立。 成立。 (称 ∞ 型) ∞ (3 )另外还有其他类型的未 定式： ∞型、 ∞ ∞型、 0 型、∞ 型、 定式： 0 0 1型各种未定式， 用洛必达法则求极限。 ∞ 0型各种未定式，也可以 用洛必达法则求极限。3

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3.洛必达法则的证明 3.洛必达法则的证明 证 由于 lim x→ a →→

f ( x) f (a ) 及 F ( x) 与

无关， F(a) 无关，

δ(a ξ

δ

可以假定 f (a ) = F (a ) = 0,

x

)

由条件( )、( )、(2) 由条件(1)、( )知，f ( x )及 F(x) 在 a的某一邻域内 是这邻域内的一点， 是连续的。 是连续的。 设 x是这邻域内的一点， 则在 x 及 a 为端点的 区间上，柯西中值定理的条件均满足， 区间上，柯西中值定理的条件均满足，因此有

f ′(ξ ) f ( x ) f ( x ) f (a ) = = F ( x ) F ( x ) F (a ) F ′(ξ )

( ξ 在 x 与 a 之间), 之间),

f (x) f ′(ξ ) f ′(ξ ) 令ξ = x lim f ′( x ) ∴ lim = lim = lim x →a F ′( x ) x →a F ( x ) x → a F ′(ξ ) ξ → a F ′ (ξ )

f '( x) 0 仍属 型未定式， 若 型未定式， 且这时 f '( x) 及 F '( x) 能满足 F ' ( x) 0 定理中 f (x) 及 F(x) 所满足的条件， 可继

续施用洛必达法则， 所满足的条件， 可继续施用洛必达法则，4

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即

f (x) f ′( x ) f "( x) lim = lim = lim x →a F ( x ) x → a F ′( x ) x →a F " ( x )

4.洛必达法则求极限举例： 4.洛必达法则求极限举例： 洛必达法则求极限举例 x sin x 0 例1 求 lim x →0 x3 0 解 例2sin x 1 1 cos x x sinx = = lim = lim lim 2 3 x→0 6 x x →0 x→0 6 6x 3x 3x xx3 3x + 2 0 求 lim 3 x →1 x x 2 x + 1 0 2

3x 3 x 3 3x + 2 0 lim 3 = lim 2 解 x→1 2 x→1 3x 2x 1 x x x +1 0 6x 3 = lim = x→1 6x 2 25

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π

例3

1 0 x 1 π arctan x 2 1 + x 2 = lim x 2 解 lim = lim =1 x→+∞ x → +∞ x→+∞ 1 + x 2 1 1 2 x x ∞ ln x 例4 求 xlim n (n > 0) →+∞ x ∞ 1 ln x 1 x 解 xlim n = lim = lim =0 →+∞ x n 1 x → +∞ nx n x → +∞ nx ∞ xn 例5 求 xlim e λ x (n 为正整数 , λ > 0 ) ∞ → +∞ xn nxn 1 n(n 1)xn 2 =L 解 xlim λx = xlim λx = lim λx → +∞ e →+∞ λe x→+∞ λ λ e n! n L 1 x n n = lim = lim n λx = 0 (n为正数 ? 如 n = 1.5 ) x →+∞ λ L λ e λx x →+∞ λ e 6x → +∞

求 lim 2

arctan x 0

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x → +∞时， y = e λx (λ > 0 ), y = x α (α > 0 ), y = ln x都是无穷大 , 但增大速度不同， e λx 最快， x α 次之， x与前两者比较最慢。 但增大速度不同， 最快， 次之， 与前两者比较最慢。 ln1 其它未定式: 0 ∞、 ∞ ∞、0 0 、 ∞ 、 ∞ 0 其它未定式例6 求 lim x n ln x (n > 0) (0 ∞ )x→+0

1 xn ln x ∞ x =0 = lim lim lim 解 lim x n ln x = x → +0 n = x→+0 n 1 x→+0 n x → +0 ∞ nx x

例7 求lim (secx tanx) (∞ ∞) πx→

sin x 1 解 lim (sec x tan x ) = lim π π x→ cos x cos x x→ 2 2

2

1 sin x = lim π cos x x→2

=0lim 0x π →2

cos x =0 sin x7

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例8 求 lim x xx → +0

解 设 y = x x , ln y = x ln x.x →+0

lim ln y = lim x ln x = 0x →+0

∴ lim x x = lim y = lim e ln y = e xlim0 ln y = 1 →+ x → +0 x → +0 x → +0x → +0 x → +0

或 lim x x = lim exp( x ln x ) = exp lim x ln x = 1x → +0

(

)

ex

又记作 exp( x )

方法： 幂指函数求极限的基本 方法： 由对数基本公式和指数 函数的连续性 lim f ( x ) = lim exp[ln f ( x )] = exp lim [ln f ( x )]x → x → x →

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应用洛必达法则求极限，还应当注意以下情况： 应用洛必达法则求极限，还应当注意以下情况： 注意以下情况 (1)不符合洛必达法则的条件，则不能用洛必达法则求极限。 不符合洛必达法则的条件，则不能用洛必达法则求极限。 不是未定式！ 不是未定式！ 不符合条件( ) 不符合条件(1)3x 3 li

m = lim = 1 x→1 3x 1 x→1 3

x + cos x 1 lim = lim 1 + cos x = 1 + 0 = 1 x →∞ x →∞ x x 但是， 但是，用洛必达法则计 算则有 x + cos x lim = lim (1 sin x ). x →∞ x →∞ x lim (1 sin x )不存在！ 不存在！x →∞

条件( )不满足！ 条件(3 不满足！

f '( x) f ( x) lim 不存在， 不存在。 不存在，不能说明 lim 不存在。 F '( x) F ( x) 也许用其它方法能够求 出极限。 出极限。9

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(2)用洛必达法则出现循环现象，及时改换别的方法。 用洛必达法则出现循环现象，及时改换别的方法。 ∞ ∞ ′ ∞ …… 此处隐藏：5860字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……