(北师大版教案)2011年高考数学二轮考点专题突破：等差、等比数列

专题三 数 列

第一讲 等差、等比数列的计算与证明

一、选择题

1．(2010·全国Ⅱ)如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋ ＋a7＝( ) A．14 B．21 C．28 D．35

解析：由等差数列性质得a3＋a4＋a5＝3a4，

7 a1＋a7 由3a4＝12，得a4＝4，所以a1＋a2＋ ＋a7＝7a4＝28. 2

答案：C

2．(2010·福建)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最 小值时，n等于 ( )

A．6 B．7 C．8 D．9

解析：∵{an}是等差数列，

∴a4＋a6＝2a5＝－6，

a5－a1－3＋11则a5＝－3，d＝2，得{an}是首项为负数的递增数列，所有的非正 45－1

项之和最小．∵a6＝－1，a7＝1，∴当n ＝6时，Sn取最小．故选A. 答案：A

3．等比数列{an}前n项的积为Tn，若a3a6a18是一个确定的常数，那么数列T10，T13， T17，T25中也是常数的项是

A．T10 B．T13 C．T17 D．T25

解析：a3a6a18＝a1 3q2＋5＋17＝(a1q8)3＝a9 3，即a9为定值，所以与a1下标和为18的项 积为定值，可知T17为定值．

答案：C

4．各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n等于( )

A．80 B．26 C．30 D．16

3nS141－q解析： Sn21－q∴qn＝2.

1－q4n

∴S4n＝Sn30.故选C. 1－q答案：C

5．(2010·辽宁)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7， 则S5＝ ( )

15313317 B. C. 2442

24解析：an>0，a2a4＝a1q＝1①

S3＝a1＋a1q＋a1q2＝7②

11解得a1＝4，q＝或－舍去)， 23

114× 3231a1 1－q S5＝＝，故选B. 141－q125

答案：B

二、填空题

6．(2010·福建)在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通 项公式an＝________.

a1 1－q3 －解析：∵{an}是等比数列，q＝4，S3＝21，∴a1＝1，∴an＝4n1 1－q

答案：4n1 －

7．(2009·辽宁理)等差数列{an}的前n项和为Sn，且6S5－5S3＝5，则a4＝________.

5×4 3×2 解析：由题意知6 5a1＋d－53a1＋＝15a1＋45d＝15(a1＋3d)＝15a4＝5， 2 2

1故a4＝. 3

13

8．数列{an}满足：an＋1＝an(1－an＋1)，a1＝1，数列{bn}满足：bn＝anan＋1，则数列{bn} 的前10项和S10＝________.

111解析：由题可知an＋1＝an(1－an＋1)，整理可得1，则1＋(n－1)＝n，所 anan＋1an

1111110以an＝，bn＝anan＋1＝＝－，故S10＝b1＋b2＋ ＋b10＝1－. n1111n n＋1 nn＋1

10答案：11

9．已知数列{an}(n∈N*)满足：an＝ n n＝1，2，3，4，5，6

－an－6 n≥7，且n∈N * 则a2 007＝________.

解析：由an＝－an－6(n≥7，且n∈N*)知an＋12＝－an＋6＝an

从而知当n≥7时有an＋12＝an

于是a2 007＝a167×12＋3＝a3＝3.

答案：3

三、解答题

10．如图给出了一个“等差数阵”：

其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i行第j列的数．

(1)写出a45的值；

(2)写出aij的计算公式．

解：(1)该等差数阵的第1列是首项为4，公差为3的等差数列，a41＝4＋3×(4－1) ＝13，第2列是首项为7，公差为5的等差数列，a42＝7＋5×(4－1)＝22. ∵a41＝13，a42＝22，

∴第4行是首项为13，公差为9的等差数列．

∴a45＝13＋9×(5－1)＝49.

(2)∵a1j＝4＋3(j－1)，a2j＝7＋5(j－1)，

∴第j列是首项为4＋3(j－1)，公差为2j＋1的等差数列． ∴aij＝4＋3(j－1)＋(2j＋1)·(i－1)＝i(2j＋1)＋j.

11．等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；

S(2)设bn＝n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列． n

a1＝2＋1，(1)解：由已知得 ∴d＝2， 3a1＋3d＝9＋2，

故an＝2n－1＋2，Sn＝n(n＋2)．

S(2)证明：由(1)得bn＝＝n＋2. n

2假设数列{bn}中存在三项bp、bq、br(p、q、r互不相等)成等比数列，则bq＝bpbr，

即(q＋2)2＝(p＋2)(r＋2)，

∴(q2－pr)＋(2q－p－r)2＝0.

∵p，q，r∈N*，

2 q－pr＝0，∴ 2q－p－r＝0，

∴ p＋r 2＝pr，(p－r)2＝0， 2

∴p＝r.

这与p≠r相矛盾

所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．

a＋1 212．已知数列{an}的各项均为正数，前n项的和Sn＝， 4

(1)求{an}的通项公式；

(2)设等比数列{bn}的首项为b，公比为2，前n项的和为Tn.若对任意n∈N*，Sn≤Tn 均成立，求实数b的取值范围．

a1＋1 2解：(1)由a1＝a1＝1. 4

an＋1 2－ an－1＋1 2当n≥2时，由an＝Sn－Sn－1， 4

得(an－an－1－2)(an＋an－1)＝0.

又因为an>0，所以an－an－1＝2. 因此{an}是首项为1，公差为2的等差数列，

即an＝2n－1(n∈N*)．

(2)因为Sn＝n2，Tn＝b(2n－1)，

所以Sn≤Tn对任意n∈N*恒成立，

n12－1当且仅当≤对任意n∈N*均成立． bn2n－12n1－12n－1 n2－2n－1 ·2n＋ 2n＋1 令Cn＝Cn＋1－Cn＝＝， nn n＋1 n· n＋1 ＋所以C1>C2，且当n≥2时，Cn<Cn＋1

134因此b≤C2＝4，即b≥3