19全国高中数学联赛省级预赛模拟【试题及答案】

全国高中数学联赛省级预赛模拟试题

第Ⅰ卷（选择题 共60分） 参考公式

1．三角函数的积化和差公式

121

cosα sinβ=

21

cosα cosβ=

21

sinα sinβ=

2

sinα cosβ=V球=

[sin(α+β)+sin(α-β)], [sin(α+β)-sin(α-β)], [cos(α+β)+cos(α-β)], [cos(α+β)-cos(α-β)].

2．球的体积公式

43

πR（R为球的半径）。 3

2

一、选择题（每小题5分，共60分）

1．设在xOy平面上，0<y≤x,0≤x≤1所围成图形的面积为M={(x,y)|x≤|y|}, N={(x,y)|x≥y| 的交集M∩N所表示的图形面积为 A．

2

1

。则集合 3

211 B． C．1 D． 336

2．在四面体ABCD中，设AB=1，CD=3，直线AB与直线CD的距离为2，夹角为面体ABCD的体积等于 A．

。则四3

11 B． C． D．

3223

3．有10个不同的球，其中，2个红球、5个黄球、3个白球。若取到一个红球得5分，取

到一个白球得2分，取到一个黄球得1分，那么，从中取出5个球，使得总分大于10分且小于15分的取法种数为

A．90 B．100 C．110 D．120

4．在ΔABC中，若(sinA+sinB)(cosA+cosB)=2sinC，则 A．ΔABC是等腰三角形，但不一定是直角三角形 B．ΔABC是直角三角形，但不一定是等腰三角形 C．ΔABC既不是等腰三角形，也不是直角三角形 D．ΔABC既是等腰三角形，也是直角三角形

2432

5．已知f(x)=3x-x+4, f(g(x))=3x+18x+50x+69x+48.那么，整系数多项式函数g(x)的各项系数和为

A．8 B．9 C．10 D．11

a2b2

6．设0<x<1, a,b为正常数。则的最小值是 x1 x

A．4ab B．(a+b) C．(a-b) D．2(a+b)

200820082006200622

7．设a,b>0，且a+b=a+b。则a+b的最大值是 A．1 B．2 C．2006 D．2008

8．如图1所示，设P为ΔABC所在平面内一点，并且AP=ABC的面积之比等于 A．

2

2

2

2

12

AB+AC。则ΔABP的面积与Δ55

1122

B． C． D． 5253

9．已知a,b,c,d是偶数，且0<a<b<c<d, d-a=90, a,b,c成等差数列，b,c,d成等比数列。则a+b+c+d=

A．384 B．324 C．284 D．194

n-1

10．将数列{3}按“第n组有n个数”的规则分组如下：（1），（3，9），（27，81，243）， 。则第100组的第一个数是

4950500050105050

A．3 B．3 C．3 D．3

11．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点A关于直线A1C、直线BD1的对称点分别为点P和Q。则P，Q两点间的距离是 A．

2233242

B． C． D． 3243

2

x2y

12．已知F1，F2分别为双曲线2 2 1的左、右焦点，P为双曲线左支上的任意一点。

ab

|PF2|2

若的值为8a，则双曲线离心率e的取值范围是 |PF1|

A．(1,+∞) B．(0,3] C．(1,3] D．(1,2]

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题（每小题4分，共16分） 13．已知

sin( 2 )1 tan( )

3，且 k , n (n,k Z)。则的值

sin 22tan

是_________.

14. 设正数数列{an}的前n项之和为b，数列{bn}的前n项之积为cn，且bn+cn=1.则数列 中最接近2000的数是_________. 15.不等式 2

1

a n

x2 2x 4 x2 10x 28 2的解集为 _________.

16. 已知常数a>0，向量m=(0,a),n=(1,0)，经过定点A(0,-a)以m+λn为方向向量的直互

与经过定点B(0,a)以n+2+λm为方向向量的直线相交于点P，其中，λ∈R。则点P的轨迹

方程为_________.

三、解答题（共74分）

17.（12分）甲乙两位同学各有5张卡片。现以投掷均匀硬币的形式进行游戏。当出现正面朝上时，甲赢得乙一张卡片；否则，乙赢得甲一张卡片，规定投掷硬币的次数达9次或在此之前某人已赢得所有卡片时，游戏终止。设ξ表示游戏终止时掷硬币的次数。求ξ取各值时的概率。

18.（12分）设∠A，∠B，∠C是ΔABC的三个内角。若向量

9A B A B 5

，且m n=. m 1 cos(A B),cos,n ,cos

82 2 8

(1)求证：tanA tanB=(2)求

1

； 9

absinC

的最大值。

a2 b2 c2

19. （12分）如图2，ΔABC的内切圆⊙I分别切BC，CA于点D，E，直线BI交DE于点G。求证：AG BG. 20．（12分）设f(x)是定义在R上的以2为周期的函数，且是偶函数，在区间[2，3]上，

2

f(x)=-2(x-3)+4。矩形ABCD的两个顶点A，B在x轴上，C，D在函数y=f(x)(0≤x≤2)的图象上。求矩形ABCI面积的最大值。

21.（12分）如图3所示，已知椭圆长轴端点A，B，弦EF与AB交于点D，O为椭圆中心，且|OD|=1，2DE+DF=0， FDO

4

。

（1）求椭圆长轴长的取值范围；

（2）若D为椭圆的焦点，求椭圆的方程。 22．（14分）已知数列{xn}中，x1=a, an+1=

2xn

. 2

1 xn

（1）设a=tanθ 0

2

，若x3

4

，求θ的取值范围； 5

（2）定义在（-1，1）内的函数f(x)，对任意x,y∈(-1,1)，有f(x)-f(y)=f 1 xy ，

若f(a)

x y

1

，试求数列{f(xn)}的通项公式。 2

答案： 第Ⅰ卷

1．B． M∩Nd xOy平面上的图形关于x轴对称，由此，M∩N的图形面积只要算出在第一象限的图形面积乘以2即可。由题意知M∩N的图形在第一象限的面积为

111

. 236

2．C． 过点D作DF//CB，过点A作AE//BC，联结CE，ED，AF，BF，将棱锥补成棱柱。

故所求棱锥面积为

111 CE CDsin∠ECD h=. 322

3．C． 符合要求的取球情况共有四种：

红红白黄黄，红红黄黄黄，红白白白黄，红白白黄黄。

123131122

故不同的取法数为C3C5 C5 C2C3C5 C2C3C5 110.

4．A． 左边=sinA cosA+sinA cosB+sinB cosA+sinB cosB =

1

(sin2A+sin2B)+sin(A+B) 2

=sin(A+B) cos(A-B)+sin(A+B), 右边=2sin(A+B).

所以，已知等式可变形为sin(A+B)[cos(A-B)-1]=0. 又因为sin(A+B)>0，所以cos(A-B)=1. 故∠A=∠B。

00

另一方面，∠A=∠B=30，∠C=120也符合已知条件。 所以，ΔABC是等腰三角形，但不一定是直角三角形。 5．A． 设g(x)的各项系数和为s，则

2

f(g(1))=3s-s+4=188. 解得s=8或s

23

（舍去）。 3

a2xa2b2b2 222221 x b (a b). 6．B． (x 1 x) a b a x1 xx1 x x1 x

当x

a

时，取得最小值(a+b)2. a b

20062

20062

7．B． 因为a2008+b2008≥ab+ba,

200620062220082008200622006220082008

又(a+b)(a+b)=a+b+ab+ba≤2(a+b),

2008200820062006

且a+b=a+b,

22

所以a+b≤2.

1

AE。 512

联结BE，作ED//BA交AC延长线于点D。由AP AB AC，得AC=CD。故四边形ABED

55

8．C． 如图4所示，延长AP到E，使得AP=是平行四边形。 所以

S ABP1

. S ABE5

1

SABED

S2

2，则 ABP . 1S ABC5SABED4< …… 此处隐藏：11681字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……