本科数学毕业论文

山西师范大学

毕 业 论 文

论文题目：浅析

学 号：姓 名：年 级：专 业：指导教师：

Vandermonde行列式的

相关性质及其应用

姓名 郭燕华 学号 09420773010

论文修改意见

指导教师 年 月 日

浅析Vandermonde行列式的相关性质及其应用

摘要：在高等数学的学习中，行列式无疑是一个重点和难点，它是后续课程线性方程组、矩阵、向量空间和线性变换的基础。而行列式的计算具有一定的规律性和技巧性。Vandermonde行列式是一类很重要的行列式。本文系统的阐述了Vandermonde行列式的相关性质及其应用,通过各种方法说明了行列式中的一些计算问题以及如何利用Vandermonde行列式计算一般的行列式，用多个例子论述并总结了Vandermonde行列式在科研和实践生活中如何更好的应用。

关键字: 行列式；Vandermonde行列式；Vandermonde

目 录

第一章 引言 ………………………………………………1 第二章 预备知识……………………………………………2 2.1 定义 ………………………………………………2 2.2 行列式的性质 ……………………………………2 2.3 2.3.1 2.3.2 2.3.3 第三章 3.1 Vandermonde3.2 Vandermonde3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.3 Vandermonde3.4 Vandermonde第四章 第五章 第六章

行列式计算中的几种基本方法……………………3 三角形法……………………………………………3 加边法或升级法……………………………………4 递推法或数学归纳法………………………………5 行列式的一种特殊类型Vandermonde行列式……6 行列式的证法 ………………………6 行列式的性质 ………………………7 推广的性质定理[7]：行列式 ………………………7 一个Vandermonde行列式为0的充分必要条件…9 Vandermonde行列式的偏导数[8]

……………………9 行列式的翻转与变形 ………………11 行列式的应用 ………………………12 小结 …………………………………………………17 参考文献 ……………………………………………18 谢 辞 ………………………………………………19

引 言

在中学数学和解析几何里，我们学习过两个未知量和三个未知量的线性方程组及其解法。但是在数学研究和实际问题的解决过程中，经常会遇到由多个未知量而组成的多个方程组，并且未知量的个数和方程组的个数也未必相等。为了解决这些具体的问题，经过一代代数学家的不懈努力，终于由莱布尼茨和日本数学家关孝和分别发明了行列式。经过一段时间的发展，法国数学家范德蒙 (A-T.Vandermonde,1735-1796) 对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述，即把行列式理论与线性方程组求解相分离。后来又经过许多大数学家的不断发展完善，如柯西、詹姆士·西尔维斯特 (J.Sylvester,1814-1894)、雅可比 (J.Jacobi,1804-1851)等人都对行列式的进步起到了巨大的推动作用[1]。美国当代数学家Bernard Kolman对行列式又做了进一步的解析与应用[2]。数学家Chongying Dong,Fu-an Li等人在Vandermonde 行列式方面的最新研究也被收录到Recent Developments in Algebra and Related Areas一书中[3]。

本文通过在行列式基本性质了解的基础上，进一步探讨一种特殊的行列式——Vandermonde行列式的相关性质及其应用。

2 预备知识

为了深入学习Vandermonde行列式的性质及其应用，我们有必

要回顾一下行列式的相关知识。

2.1 定义1

行列式是由n2个元素（数） ij(i,j=1,2,…,n)排成n行n列并写成

(1)

的形式，它表示所有符合以下条件的项的代数和：

① 每项是n个元素的乘积，这n个元素是从(1)中每行取一个元素、每列取一个元素组成的，可记a1p1a2p2 anpn为,式中p1,p2, ,pn是1,2,…,n的一个排列。

②每项a1p1a2p2 anpn应带正号或负号，以1,2,…,n的顺序为标准来比较排列(p1,p2, ,pn)的逆序数是偶或奇而决定。例如三阶行列式中的项 12 23 31排列(231)有2个逆序，即2在1之前，3在1之前,所以 12 23 31应带正号；而

12 21 33中(213)的逆序为1，因为这时只有2在1之前，所以应带负号。

2.2 行列式的性质[4]

性质1 行列式与它的转置行列式相等。

性质2 交换行列式的两行（列），行列式改变符号。

性质3 如果一个行列式有两行（列）完全相同，那么这个行列式等于0。 性质4 把一个行列式的某一行(列)的所有元素同乘以某一个数k,等于以数k

乘这个行列式。

性质5 一个行列式中一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号的外边。

性质6 如果一个行列式中有一行（列）的元素全部是0，那么这个行列式等于0。

性质7 如果一个行列式有两行（列）的对应元素成比例，那么这个行列式等于0。

性质8 设行列式D的第i行元素都可以表示成

a11

a12...an2

.........

a1n...ann

D

bi1 ci1bi2 ci2

...an1

..bin cin

,

那么D等于两个行列式D1与D2的和，其中D1的第i行元素是bi1,bi2,...bin，D2的第i行元素是ci1,ci2,...cin，而D1与D2的其他各行都和D的一样。同样的性质对于列来说也成立。

性质9 把行列式的某一行(列)的元素乘以同一个数后加到另一行（列）的对应元素上，行列式不变。

2.3 行列式计算中的几种基本方法

2.3.1 三角形法

就是利用行列式的性质，将给定的行列式化为上三角形或下三角形行

列式，而上（下）三角形行列式的值即为其主对角线上所有元素的乘积。 例1 计算n级行列式

xaDn a

axa

a...aa...ax...a.

...............aaa...x

.

分析 该行列式具有各行（列）元素之和相等的特点.可将第2,3, ,n列（行）

2， ，n 1列（行）加到第n列(行)）都加到第一列（行）（或第1，，则第1（或n）

列（行）的元素相等，再进一步化简即可化为三角形行列式或次三角行列式. 解

x (n 1)a...aax (n 1)aa

x (n 1)ax...ax aDn

.........x (n 1)aa...x

......

a

n 1

[x (n 1)a](x a)

x

2.3.2 加边法或升级法

例2 计算n级行列式

a1bDn b

...b

ba2b...b

bb

......

bbb

a3...b

.........

...an

) (b ai,i 1,2,...,n

分析 该行列式的各行（列）含有共同的元素b,b, ,b可在保持原行列式值不变的情况下，增加一行一列（称为升级发或加边法），适当选择所增加行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素. 解

1

Dn升级0

0

bb b

bb b

...

bb

1b0 0

b0 0

b00

0a1 1a1 b

a2

b 1

1

a2 b

an an bb

bb

a1 ban b

ba1 b

b

a2 b

an b

[1 b

i 1

n

1

](a1 b)(a2 b) (an b)ai b

2.3.3 递推法或数学归纳法

例3 计算n级行列式