线性代数课件5.3

§5.3 实对称矩阵的对角化一、实对称矩阵特征值和特征向量的性质 二、实对称矩阵正交对角化的方法

一、实对称矩阵的特征值和特征向量的性质 定义 实数域上的矩阵简称为实矩阵，实数域上 的对称矩阵简称为实对称矩阵。 定理1 n 阶实对称矩阵一定有n个实特征值. 证明：设实对称矩阵A任意一个特征值为 a bi , 属于 的特征向量为 i , 则 A . 即 A( i ) (a bi )( i ) A iA a b i (b a ), 则

A a b ,

A b a .

T A a T b T T A b T a T

数字

T T T T T T A ( A ) A A . 又因数字

T T T T a b b a . 所以 T T , 所以 b( T T ) 0. 因为

又因为 是非零向量， , 不同时为0, 所以 b 0, 即 a bi a 为实特征值。

【注】 1、n阶实对称矩阵A的所有特征值都为实数。2、由于实对称矩阵A的特征值 i 为实数, 所以齐次线 性方程组 ( iE-A ) x = 0 是实系数方程组, 必有实基 础解系, 从而对应的特征向量都为实向量.

定理2 设 A 为n阶实对称矩阵, 是 A 的特征方程的 k 重根, 则矩阵 ( E-A ) 的秩 r( E-A ) = n–k, 即 k 重特 征值 恰有 k 个线性无关的特征向量.这个定理的证明超出本课程范围, 证明略. 【注 】 结合前面定理：n 阶实对称矩阵 A一定有n个 线性无关的实特征向量，可知实对称矩阵 A在实数域上 一定相似于对角阵.

定理3 实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交. 设 1, 2 是实对称矩阵 A 的两个特征值, 1, 2 是 对应的特征向量, 若 1 2, 则 1与 2正交. 证明: 由已知 A = AT 且 T T A 1 1 1 , 2 A 1 1 2 1 , (1) T T A 2 2 2 , 1 A 2 2 1 2 , (2)T T T T T 2 2 1 , A 1 ( 2 A 1 )T 1 A 2 , 又 1 数字 2 则 (1)式减(2)式得： ( 1 – 2 ) 1T 2 = 0.

再由 1 2 得 1T 2 = 0, 即 1与 2 正交. 由实对称矩阵特征向量的这一特殊性进一步得 到下面结论 ：

定理4 实对称矩阵 A ,存在正交矩阵Q, 使得 Q-1 AQ= .

证明: 设 A 的互不相等的特征值为 1, 2 , · · · , m , 它们 的重数依次为 k1, k2 , · · · , km , 且 k 1 + k2 + · · · + km = n . 由定理2知: 对应于每个ki重特征值 i ( i =1, … , m), 恰有ki 个线性无关的实特征向量, i1 , i 2 , , iki . 将其正交化, 单位化, 得ki 个单位正交的特征向量， i1 , i 2 , , iki 与 i1 , i 2 , , iki 等价。从而得到n个两两正交的单位特征向量 11 ,

12 , , 1k1 , , m1 , m2 , , mkm .

以它们为列向量构成正交矩阵 Q, 则 Q-1AQ = , 其中对角矩阵 的对角元素含 k1个 1 , · · · , km个 m , 恰是 A 的 n 个特征值.

【注】 由定理4的证明过程可知:(1) n 阶实对称矩阵A一定有 n 个正交的特征向量； (2) 实对称矩阵一定存在正交矩阵使得它可以相似 对角化。

二、实对称矩阵正交对角化的方法设有实对称矩阵 A ,求正交矩阵Q,使得A相似 1 于对角阵 (即 Q AQ ) 的步骤 归纳步骤 (1) 求全部特征值； (2) 求每一个特征值所属的无关特征向量； (3) 将同一特征值下的无关特征向量正交化，单 位化； (局部正交化.) (4) 构造Q, 则 Q 1 AQ , 注意特征向量与 特征值的对应.

1 P AP 为对角阵. 例1 对实对称矩阵A, 求出正交矩阵P, 使

2 2 0 A 2 1 2 . 0 2 0

解: 第一步 求 A 的特征值。 2 2 0 E A 2 1 2 4 1 2 0 0 2 得 1 4, 2 1, 3 2. 第二步 由( iE-A)x=0, 求A的特征向量.

对于 1=4, 由(4E-A)x=0 得

2 x1 2 x2 0 2 x1 3 x2 2 x3 0 2x 4x 0 2 3对 2=1, 由 (E-A)x=0, 得

2 解之得基础解系 1 2 . 1

x1 2 x2 0 2 x1 2 x3 0 2x x 0 2 3

解之得基础解系

2 2 1 . 2

对 2= –2, 由(A+2E)x=0, 得

4 x1 2 x2 0 1 2 x1 3 x2 2 x3 0 解之得基础解系 3 2 . 2 2x 2x 0 2 3

第三步 将属于同一特征值的特征向量正交化。 由于 1, 2, 3是属于A的3个不同特征值 1, 2, 3 的特征向量, 故它们必两两正交. i , i 1, 2, 3. 将全部特征向量单位化。 令 i i 23 2 3 得 1 2 3 , 2 1 3 , 3 2 3 1 3 2 2 1 作 P 1 , 2 , 3 2 1 3 1 2

1 2 2 1 2 , 2

3 3 . 3

故

4 0 0 1 P AP 0 1 0 . 0 0 2

例2 实对称矩阵A, 求正交矩阵P, 使P-1AP = 为对角阵. 4 0 0 A 0 3 1 . 0 1 3

解: 第一步 求A的特征值. 4| E A | 0 0 0 0 1 ( 4)2 ( 2) 0 3

3 1

得A的特征值 1=2, 2= 3=4. 第二步 由( iE-A)x=0, 求A的特征向量. 对 1=2, 由(2E-A)x = 0, 得 0 0 2 x1 1 1 x 2 x 3 0 , 得基础解系 1 x x 0 2 3

0 0 对

2= 3=4,由(4E-A)x=0, 得 x 2 x 3 0 , x2 x3 0 x1 令 分别取 x3 1 0 1 0 0 , 3 1 . , , 得基础解系 2 0 1 0 1

第三步

将属于同一特征值的特征向量正交化.

由于 2, 3 恰好正交, 故 1, 2, 3 两两正交.

将所有特征向量单位化. i , i 1, 2, 3. 令 i || i ||得

0 1 1 1 , 0 , 1 2 0 2 1

0 1 1 . 3 2 1

0 2 0 1 1 0 1 于是得正交阵 P 1 , 2 , 3 2 1 0 1 2 0 0 则 P 1 AP 0 4 0 . 0 0 4 0 0 在第二步中, 如果对 2= 3=4, 得 x x 0 , 2 3 x2 x3 0 1 1 1 1 x1 1 , 3 1 . 令 分别取 , , 得基础解系 2 1 1 1 1 x 3 1 1 由于 2, 3不正交, 需要将其正交化: 则取 2= 2 1

3 3 3 2 2T 2 T 2

1 1 1 1 1 1 3 1

2 2 1 . 3 1

再将所求特征向量单位化得:0 1 1 , p1 2 1

1 1 1 , p2 3 1

2 1 1 . p3 6 1

0 1 P ( p1 , p2 , p3 ) 2 1 2

1 2 3 6 1 1 3 6 1 1 3 6

可以验证仍有

2 0 0 P 1 AP 0 4 0 . 0 0 4

例3 证明实对称幂等阵的秩与迹相等. 解：因为实对称矩阵一定可相似对角化， 幂等阵的特征值只有0和1,故 1 A~ , 0

1 0

所以 r ( ) 1的个数 tr ( ).故 r ( A) r ( ) tr ( ) tr ( A).