【步步高】2014高考数学二轮专题突破(文科)专题五 第2讲

第2讲 椭圆、双曲线、抛物线

【高考考情解读】 高考对本节知识的考查主要有以下两种形式：1.以选择、填空的形式考查，主要考查圆锥曲线的标准方程、性质(特别是离心率)，以及圆锥曲线之间的关系，突出考查基础知识、基本技能，属于基础题.2.以解答题的形式考查，主要考查圆锥曲线的定义、性质及标准方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，常常在知识的交汇点处命题，有时以探究的形式出现，有时以证明题的形式出现．该部分题目多数为综合性问题，考查学生分析问题、解决问题的能力，综合运用知识的能力等，属于中、高档题，一般难度较大．

圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质

考点一 圆锥曲线的定义与标准方程

x2y2y22

例1 (1)＋＝1－x＝1的公共焦点分别为F1、F2，P为这两条曲线的

2m3

一个交点，则|PF1|·|PF2|的值等于________．

(2)已知直线y＝k(x＋2)(k＞0)与抛物线C：y2＝8x相交于A、B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k＝________. 2

答案 (1)3 (2)

3

解析 (1)焦点坐标为(0，±2)，由此得m－2＝4，故m＝6.根据椭圆与双曲线的定义可得|PF1|＋|PF2|＝2，||PF1|－|PF2||＝23，两式平方相减得4|PF1||PF2|＝4×3，所以|PF1|·|PF2|＝3.

(2)方法一 抛物线C：y2＝8x的准线为l：x＝－2，直线y＝k(x＋2)(k＞0)恒过定点 P(－2,0)．

如图，过A、B分别作AM⊥l于点M，

BN⊥l于点N.

由|FA|＝2|FB|，则|AM|＝2|BN|，点B为AP的中点． 1

连接OB，则|OB|＝AF|，

2∴|OB|＝|BF|，点B的横坐标为1， 故点B的坐标为(1,2． 22－022∴k＝31－ －2

方法二 如图，由图可知，BB′＝BF，AA′＝AF， 又|AF|＝2|BF|， ∴

|BC||BB′|1

， |AC||AA′

|2

即B是AC的中点．

2xB＝xA－2，∴ 与 2yB＝yA

2 yA＝8xA， 2 yB＝8xB，

联立可得A2)，B2)． 4－2

222∴kAB＝34－1

(1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定

义中要求|PF1|＋|PF2|＞|F1F2|，双曲线的定义中要求||PF1|－|PF2||＜

|F1F2|，抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等的转化． (2)注意数形结合，提倡画出合理草图．

x2y23

(1)(2012·山东)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0).双曲线x2－y2

ab2

＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为 x2y2

＋＝1 82x2y2

1 164

( )

x2y2

1 126x2y2

1 205

(2)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B， 交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为

( )

A．y2＝9x C．y2＝3x 答案 (1)D (2)C

a－b3c3解析 (1)∵椭圆的离心率为∴＝，

2aa2∴a＝2b.∴椭圆方程为x2＋4y2＝4b2.

∵双曲线x2－y2＝1的渐近线方程为x±y＝0，

∴渐近线x±y＝0与椭圆x2＋4y2＝4b2在第一象限的交点为 ∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为∴a2＝4b2＝20.

x2y2

∴椭圆

C的方程为＋＝1.

205

525

，

5b，5b

B．y2＝6x D．y2＝3x

2525

×b＝4，∴b2＝5，55

(2)如图，分别过A，B作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，由抛物线的定 义知，|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|， ∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BB1|， ∴∠BCB1＝30°，∴∠AFx＝60°. 连接A1F，则△AA1F为等边三角形， 过F作FF1⊥AA1于F1，则F1为AA1的中点，

113

设l交x轴于N，则|NF|＝|A1F1|＝|AA1|＝AF|，即p＝，∴抛物线方程为y2＝3x，故

222选C.

考点二 圆锥曲线的几何性质

x2y2

例2 (1)(2013·辽宁)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，C与过原点的直线相

ab

4

交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos∠ABF＝，则C的离心率为( )

53 5

5B. 7

4 5

6D. 7

x2y2

(2)已知双曲线1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支

ab上，且|PF1|＝4|PF2|，则双曲线的离心率e的最大值为________． 5

答案 (1)B (2)

3

解析 (1)在△ABF中，由余弦定理得 |AF|2＝|AB|2＋|BF|2－2|AB|·|BF|cos∠ABF， ∴|AF|2＝100＋64－128＝36，∴|AF|＝6， 从而|AB|2＝|AF|2＋|BF|2，则AF⊥BF. 1

∴c＝|OF||AB|＝5，

2

利用椭圆的对称性，设F′为右焦点， 则|BF′|＝|AF|＝6，

∴2a＝|BF|＋|BF′|＝14，a＝7. c5

因此椭圆的离心率e＝＝a7(2)设∠F1PF2＝θ，

|PF1|－|PF2|＝2a， 由 得 |PF|＝4|PF| 12

2|PF|＝， 3

2

8|PF1|＝，

3

17a2－9c21792

由余弦定理得cos θ＝e.

8a88

179

∵θ∈(0,180°]，∴cos θ∈[－1,1)，－1≤2<1，

885

又e>1，∴1<e≤3

解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，

c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式．建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．

(1)已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线

交C于点D，且BF＝2 FD，则C的离心率为________．

x2y2a222

(2)－＝1(a>0，b>0)的左焦点F作圆x＋y＝E，延长

ab4FE交双曲线右支于点P，若E为PF的中点，则双曲线的离心率为________． 答案 (1)

310(2)32

→→

解析 (1)设椭圆C的焦点在x轴上，如图，B(0，b)， F(c,0)，D(xD，yD)， 则BF＝(c，－b)， FD＝(xD－c，yD)， ∵BF＝2FD，

c＝2 xD－c ，

∴ －b＝2yD，

→

→

→→

x2∴ b

y＝－ 2

DD

3c

又∵点D在椭圆C上，

∴

3c2 －b2 2 2a

b

13

1，即e2∴e.

33

(2)设c＝a＋b，双曲线的右焦点为F′. 则|PF|－|PF′|＝2a，|FF′|＝2c. ∵E为PF的中点，O为FF′的中点， ∴OE∥PF′，且|PF′|＝2|OE|. a

∵OE⊥PF，|OE|

2∴PF⊥PF′，|PF′|＝

a

，

∴|PF|＝|PF′|＋2a＝3a. ∵|PF|2＋|PF′|2＝|FF′|2， c10

∴9a2＋a2＝4c2，∴.

a2∴双曲线的离心率为

10

2

考点三 直线与圆锥曲线的位置关系

x2y22

例3 已知椭圆C＋1(a>b>0)的离心率e＝点F为椭

ab2

圆的右焦点，点A、B分别为椭圆的左、右顶点，点M为椭 →→

圆的上顶点，且满足MF·FB＝2－1. (1)求椭圆C的方程；

(2)是否存在直线l，当直线l交椭圆于P、Q两点时，使点F恰为△PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

解 (1)根据题意得，F(c,0)(c>0)，A(－a,0)，B(a,0)，M(0，b)， →→

∴MF＝(c，－b)，FB＝(a－c,0)， →→∴MF·FB＝ac－c2＝2－1.

c2