07第四节 函数的连续性

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求函数的极限常用的方法有： f(x)为 D(f),则 1 ) 若 函 数 f(x) 为 基 本 初 等 函 数 ， 且 x 0 ∈ D(f),则 lim f(x) = f(x 0 );x→ x0

2) 利 用 函 数 极 限 的 四 则 运 算 法 则 ； 3) 通 分 、 有 理 化 、 约 去 零 因 式 等 对 函 数 进 行 变 形 再 求 极 限 ； 4) 两 个 重 要 极 限 ： limx→ 0 sinx x

e及 = 1, lim(1 + ) = e 及 lim(1 + x) = e,x→ x →∞ x→ 0

1 x x

1 x

(第 二 个 重 要 极 限 特 别 适 用 于 幂 指 函 数 求 极 限 ); 5) 利 用 等 价 无 穷 小 ( 替 换 定 理 ) ; 6) 利 用 左 、 右 极 限 与 极 限 的 关 系 .

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sin2α = 2sinα cosα, cos 2α = cos2 α sin2 α = 2cos2 α 1 = 1 2sin2 α α+β α β sinα + sin β = 2sin cos 2 2 α +β α β sinα sinβ = 2cos sin 2 2 α+β α β cosα + cos β = 2cos cos 2 2 α +β α β cosα cos β = 2sin sin 2 2

1 sinα cos β = (sin(α + β ) + sin(α β )) 2 1 cosα cos β = (cos(α + β ) + cos(α β )) 2 1 sinα sin β = (cos(α + β ) cos(α β )) 2

sin2 α + cos2 α = 1 tan2 α + 1 = sec2 α sec2 α 1 = tan2 α

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第四节 函数的连续性一 函数连续性的概念 二 函数的间断点及类型 三、初等函数的连续性

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函数的连续性一 函数连续性的概念 1. 增 量 f(x)在 设函数f(x)在x0的某领域Oδ 0 )内有定义, 当自变量x (x )内

+Δ 在这邻域内从x0变到x0 +Δx时(此时称自变量的增量 +Δ ),因 为Δx),因变量y相应地从y0变到y0 +Δy,称函数y = f(x) 相应于Δx的增量Δy = f(x0 +Δx)- f(x0 ). f(x +Δx)-f(x

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f(x)在 2. f(x)在x 0处连续f(x)在 (x )内 定义1 设函数y = f(x)在Oδ 0 )内有定义, 若 lim Δy = lim[f(x 0 + Δx) - f(x 0 )] = 0,Δx → 0 Δx → 0

f(x)在 则称f(x)在点x 0处连续. x 0为f (x)的连续点.

设 x = x 0 + x ,

y = f ( x ) f ( x0 ),

x → 0 就是 x → x0 , y → 0 就是 f ( x ) → f ( x0 ).内有定义, 定义 2 设函数 f ( x ) 在 Oδ (x0 ) 内有定义,如果函 时的极限存在, 数 f ( x ) 当 x → x0 时的极限存在,且等于它在点x 0 处的函数值

f ( x0 ),即 lim f ( x ) = f ( x0 ) x→ x0

连续. 那末就称函数 f ( x ) 在点 x 0 连续.

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yy = f (x)

y y y

y = f (x)

0

x0

x x 0 + x x

x0

x0

x 0 + x

x

注：函数 f (x)在点 x0处连续必须满足的三个条件 :(1) f ( x )在点 x 0 处有定义 ;

( 2 ) lim f ( x ) 存在 ;

( 3) lim f ( x ) = f ( x 0 ).x → x0

x → x0

例1

1 x sin , x ≠ 0, 试证函数 f (x) = 在x = 0处连续. x 0, x = 0,

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3.单 3.单 侧 连 续若函数f 的左δ邻域{ 内有定义, 1)若函数f(x)在x 0的左δ邻域{x | -δ< x - x 0 ≤ 0}内有定义, f( 则称f 在点x 处左连续. 且 lim f(x)= f(x 0 ),则称f(x)在点x 0处左连续. -

的右δ邻域{ 内有定义, 2)若函数f(x)在x0的右δ邻域{x|0 ≤ x - x0 <δ}内有定义, 若函数f f( 则称f 在点x

处右连续. 且lim f(x)= f(x0 ),则称f(x)在点x0处右连续. +x→x0

x→x 0

定理 函数 f ( x)在 x0 处连续 是函数 f ( x)在 x0处既左连续又右连续 .

或 函数 在 0处连续 f(x0 -0)=f(x0 +0)=f(x0). : f(x) x f(x)在例2 x + 2, x ≥ 0, 讨论函数 f (x) = 在 x = 0处的连续性. x 2, x < 0,

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4.连续函数与连续区间 连续函数与连续区间 f(x)在(a,b)内连续 x 0 ∈ (a, b ), f ( x )在x 0连续 内连续: 在 内连续f (x)在闭区间 a,b]上连续: [

(1)f ( x )在(a, b )连续 ( 2) lim f ( x ) = f (a ) +x →a

( 3) lim f ( x ) = f (b )x →b

在定义域内连续,则称 为连续函数. 若f(x)在定义域内连续 则称 在定义域内连续 则称f(x)为连续函数 为连续函数 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线 基本初等函数在定义域内都是连续的. 定理 基本初等函数在定义域内都是连续的f(x)在x=0处 作业P12三(2) 若f(x)在x=0处连续，又若 x,y ∈ R, f(x+y)=f(x)+f(y), f(x)在 )上 满足f(x+y)=f(x)+f(y),证明：f(x)在(-∞,+∞)上连续.

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二 函数的间断点及类型设f(x)在点x 0的某领域内有定义，函数 f (x)在点 x0处连续必须 f(x)在 满足的三个条件 : ( 1 ) f ( x ) 在点 x 0 处有定义 ;( 2 ) limx→ x0

f ( x ) 存在 ; ( 3 ) xlim f ( x ) = f ( x 0 ). → x

0

定 义 : 设 y = f(x)在 x 0某 去 心 邻 域 内 有 定 义 ， 若 函 数 f ( x ) 在 点 x 0处 不 连 续 , 则 称 点 x 0 为 f ( x ) 的 不 连 续 点 ( 或 间 断 点 ).f(x)的 注：如果x0是函数f(x)的间断点，那么无非就以下三种情况之一： (1)f(x)在x0无定义；

(2)f(x)在x0处有定义，但limf(x)不存在；x→x0

(3)f(x)在x0处有定义，且limf(x)存在，但limf(x)不等于f(x0 ).x→x0 x→x0

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x2 4 1 例3 f(x) = x(x + 2) + 的间断点个数为 __ 个, ( x 2)( x + 1) x=2 间断点为 _____ .1.跳跃间断点 跳跃间断点

如果 f ( x )在点 x0处左, 右极限都

存在, 但f ( x0 0) ≠ f ( x0 + 0), 则称点 x0为函数 x, 例4 讨论函数 f ( x ) = 1 + x ,

f ( x )的跳跃间断点 .

x ≤ 0, 在x = 0处的连续性 . x > 0,y

o

x

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2.可去间断点 可去间断点 lim f ( x ) = A , 但(1)A ≠ f ( x 0 ),x→ x 0

或( 2) f ( x )在点 x 0处无定义 则称点 x 0为函数 f ( x)的可去间断点 .

注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函 数的定义, 则可使其变为连续点. 数的定义, 则可使其变为连续点. 例5讨论函数 2 x , 0 ≤ x < 1, f ( x ) = 1, x=1 1 + x, x > 1, 在x = 1的连续性y2 1

y = 1+ x

y=2 x1

o

x

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例5

讨论函数 2 x , 0 ≤ x < 1, f ( x ) = 1, x=1 1 + x, x > 1, 在x = 1的连续性

y2 1

y = 1+ x

y=2 x1

o

x

为函数的可去间断点 ∴ lim f ( x ) = 2 ≠ f (1), ∴ x = 0为函数的可去间断点 .x →1

令 f (1) = 2,

2 x , 0 ≤ x < 1, 则 f ( x) = x ≥ 1, 1 + x , 在x = 1处连续 .

y2 1

o

1

x

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跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 特点

函数在点x 处的左、 . 函数在点 0处的左、右极限都存在

二.第二类间断点

如果f 在点x 处的左、 如果f(x)在点x0处的左、右极限至少有一个不存在 , 则称点x 为函数f 的第二类间断点. 则称点x0为函数f(x)的第二类间断点. 1 , x > 0, 例6 讨论函数 f ( x ) = x 在x = 0处的连续性 . x , x ≤ 0, yf(x)中 若 lim f(x),lim f(x)中至少有一个为∞, …… 此处隐藏：3330字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……