初二数学手拉手模型 (1)

初二数学中的“手拉手”模型

如图1：两个公共顶点并且顶角相等的等腰三角形所组成的图

形具有很特别的性质，我们形象地称其为“手拉手”模型；在这个

图形种蕴含这两个全等三角形，而且这两个全等三角形可以看成其

中一个绕着顶点旋转顶角地度数后变成另外一个。

在图1中，只需要连结BD，CE则容易证明△ABD≌△ACE；同

时△ACE可以看成△ABD绕着点A顺时针旋转∠BAC的度数得到。

熟悉手拉手模型对于解题是十分有帮助的。下面以一些初二阶段

的考题为例子一起来巩固强化一下这个模型。

例1（15石狮八年级期末26题）△ABC和△ADE都是等腰三角形，其中AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE.

（1）如图1，连结BE、CD，求证：CD=BE；

（2）如图2，连结BD、CD，若∠BAC=∠DAE=60°，CD⊥AE，AD=3，CD=4，求BD的长；

（3）如图3，若∠BAC=∠DAE=90°，以点A为旋转中心旋转△ABC，使得点C恰好落在斜边DE上，试探究、、之间的数量关系，并加以证明．

本分析：本题就是一道典型的手拉手模型问题，这边的两个等顶角共定点的等腰三角形是△ABC和△AED，因此图形中一定存在着两个全等的可以看成旋转得到的三角形。有了这个理念就不难想到第二题连结BE；第三题连结BE，得到全等三角形，第二题中两个全等三角形

是△ABE与△ACD；第三问全等的三角形是△ABE与△ACD。发现全等在本题中是关键；例

如第二题、三题就是通过全等把已知条件集中到同一个直角三角形中；利用勾股定理求解。

例2：如图3，在三角形ABC中AB=AC，∠BAC=90°，P是BC上的一点，证明：

BP²+CP²=2AP²

分析：这个题目中并没有直接的“手拉手”模型；但是

题目中有一个已知的等腰直角三角形ABC，要证明的式

子中有一个线段AP是以A为端点的，因此我们可以考

虑以AP为直角边，构造以点A为顶点的另一个等腰直

角三角形APD，这样就出现“手拉手”模型了，而模型

中存在的两个旋转三角形也随之显现，能把相关线

段集中到同一个直角三角形中。如图4

（注：本题也可以直接考虑△ABP旋转）

例3：（17秋永春期末检测）

如图5，已知∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°，

①三角形ABC是__________三角形

②求证AC=BC＋CD

（2）如图6，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改写成“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=45°”，求线段AC，BC，CD的关系，并给出证明。

分析：②中要证明AC=BC＋CD可以用“截长补短”的思维去考虑，

截长：在AC上截取CE等于BC，连结BE证明AE＝CD，

补短：延长CD至点F使得DF=BC，接着证明三角形ACF是等边。

本题也可以考虑旋转，吧△ABC绕着点A逆时针旋转60°；

最后回到主题：实际上我们也可以充分利用已知条件（已经有一个等边三角形），构造另一

个与△ABC共顶点的等边三角形，构造“手拉手”模型求解。如图8

对于第二个小问，我们从充分利用已知条件构造‘手拉手’模型的思路

不难想到，以相关线段AC为直角边，构造等腰直角三角形ACF，则出

现手拉手模型，两个旋转全等的三角形分别是△ABC和△ADG，这样就

把BC转移到了DG与CD连成直线CG刚好又是以AC为直角边的等腰

直角三角形的斜边，关系自然就出来了。如图9

注：当然本题也可以直接考虑△ABC旋转再证明△ACF是等腰直角三角形.