柯西积分公式的推广

第3 2卷第 1期2 1 0 2正

高师理科学刊J u a f ce c f a h r C l g n nv ri o r l in eo c es n oS Te ol ea dU iest e y

V 1 3 No 1 o. 2 .

1月

J n 2 2 a . 0I

文章编号：10— 8 1(0 2 10 1— 3 07 93 2 1 )0—0 4 0

柯西积分公式的推广刘志宏(红河学院数学学院，云南蒙自 6 10 6 10)

摘要：把一般的柯西积分公式

d z

_( ) 1 z推广到被积函数， z在周线厂内。 ( )

部有 2个及其以上奇点的情形，并得到了相应的积分计算公式.

关键词：解析函数；奇点；复周线；柯西积分公式中图分类号：0 7 . 14 5文献标识码：A d i 036/i n10— 8 2 1.1 0 o:1.99 .s. 7 9 3. 2 . 4 js 0 10 0 0

T eg n rlz t no a c ySit ga r l h e e aiai f u h ne rl o mua o C fLI Zh -h ng U i o(c olf te ai,H nh nvrt,M nz6 10,C ia ShooMa m t s oge i sy e gi6 10 h ) h c U ei n

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i ern nt n () aea lat n ua o t i oe uv厂，a do t n dte orso dn tga n ga d u ci z h v tes 2s g l p i s nac sdcre t f of i r n l n a e r p n igi erl b i hc e nfr ls o mu a .

K ywod:a ayi n t n; sn ua on; c mpe u v; C u h itga r ua e r s n lt f ci cu o ig lr it o lxc re p a c yS ne l fm l r o

1引言及预备知识柯西积分公式是复变函数中十分重要的公式，既有理论价值，又有实际应用，它也是计算积分的重要工具.柯西积分公式的证明基于柯西一古莎基本定理，它的重要性在于一个解析函数在区域内部的值可以 用它的边界上的值通过积分来表示.柯西积分公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法，而且给出了解析函数的一个积分表达式，是研究解析函

数的有力工具. 关于柯西积分公式，主要有以下 4个重要结论.

引理 1 C u h积分定理 ) 2 ( acy[1设， z在 Z 1 - ()平面上的单连通区域 D内解析，厂为 D内任一闭曲线(不必是简单曲线 )则，f()z zd=0 ( ) 1

引理 2 (复周线 C u h a e y积分定理 )叫设 D是由复周线厂=C+c p。+c+…+ 围成的有界 c所

,1 l连通区域，函 (在D内+数，z )解析，在=厂 D+上连续， f (d=,即则 . zz 0 . ) fIfz z Ifz z…+Ifz z (d= ( d+ ) ) (d ) () 2

收稿日期：2 1- 8 2 0 1o— O

基金项目：云南省教育厅科研基金资助项目 ( 9 00 0 C 26);红河学院一类重点课程建设项目 ( D C 03) Z K 10 作者简介：刘志宏 ( 9 8 17一),男，湖南邵阳人，讲师，硕士，从事复变函数论研究.E ma:l zi nma@13cr— i i hh g t 6 . n l u o h o

第1期

刘志宏：柯西积分公式的推广

1 5

引理 3 ( a c y C u h积分公式 )}若厂为正向简单闭曲线，gz=|2 56 1 ()Z— Z O

,其中：, z在厂上及其内 ( )

部解析；Z在厂的内部，则 O

J= r,

d 2 () J z/z或=f o i f= r .

( z L o z ) t Z— Z o

() 3,中：厂 z在 F其 ( )

引理 4(一般的 C u h积分公式 )”若厂为正向简单闭曲线，gz= acy钾 ( _ )上及其内部解析；Z在厂的内部，则 o

』 r,

a z=

) ) (或 Z z o n‘一 Z O

L或gz: ( )

d f-Z z ()o=m( 1,

() 4

式() () 3 4中的Z o=Z是被积函数 gz: (盟 )

在厂内部的唯一奇点如果给定

‘一 Z O,

的积分被积函数 gz在厂内部有 2 ()个及其以上奇点，就不能直接应用它们.本文针对被积函数 gz在厂内 ()部有 2个及其以上奇点的情况，推广了 Cuh积分公式. acy .

2主要结果及证明定理 1若厂为正向简单闭曲线， () gz 的内部，则=, (在厂上及其内部解析， z, z f,z )且 z在

Lz—Z) z—Z n 1 ( 2 () ;

(, )一1

i (1z+￣m ) 1

-( )

() z 2

() 5

证明分别以Z, 2 l z为圆心，在，内作互不相交且互不包含的 2圆 c:— 1与 C:—Z Ir, ll z l z _ 2 I 2_ 2 z则由引理 2可知. z厂 ( z(ZZ=l一)—)+ ( 1厂)2 z 1( 2 EZz ( z z—z. )— ) c 1z 2 m— n ( ( z ) z (—Z

() 6

由于函数 () z

在 c上及其内部解析，因此由引理 4 1可知f z (), z ()=

(—z) z 2 z 1 (—z )

L,() z

= L

2￣-叫 u1 h ( i m )

㈩

同理，由于 () z=

在 C上及其内部解析，则 2

. )厂 ( z(zz z 1( 2— z ) m—=

= L

z2, h, i - ( 1 )

㈩

分把 (~ )式6 =别式7 (代 (得 )8入 )由定理 1可以看出， g z当 ( )理 4的情形 .

z - 圭 1)’+ ( z

-】) ( z证毕 .

=

中m=ln O,=时就是引理 3的情形； l m￣当，=。 j ' -

l

推论 1设，z在 l≤ ( ) z R上解析，I R内有互不相交且互不包含的 2圆 C:— 1 与 l z I 1I Z= z I C:— 2 r, 2l zf 2设= a{ ( l I, z= m xI z I ., )I}则 z

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高师理科学刊

第 3 2卷

l 志 I< ( 9 ) 证厂{I>由 (可， l (z丽 n 明取=IR式5知 l m。 l -2 z=, ) I z丽 -) (z D+ ( 1) )I (=1 r 一

j厂

,z ( )

2 i h

(—z (—Z ) z 1 Z 2 m

I≤叫

2

证毕

的情形，类似于定理 1可以得到定，

理 2和推论 2 .

定理 2若厂为正向简单闭曲线， (:盟 gz )i1=

,

. z在厂上及其内部解析， z, 2…, 厂) (且， Z, z在

兀(—i zz )厂的内部，则

砉1 I ) (其中： (= z ,z ) ()( k:1 2…, ),, n

( 0 1)

n( z z f -)f ≠七 1

推论 2设，z在l≤上解析， l R ( z尺 ) l I内有互不相交且互不包含的， z 1个圆C:— 1, C:— 2 ll z=i l zl Z I, z= r…,

l z=, ', C:— 设M= a{ ( I 尺， z l m xI z I l l则， )l= z

志 lR< M参考文献：【钟玉泉 .复变函数论【】版.北京：高等教育出版社，20:14 15 1】 M .3 04 0—2【 2]西安交通大学高等数学教研室.复变函数【 .4版.北京：高等教育出版社，20:7— 0 M] 0 1 59【 3】郑建华 .复变函数【 .北京：清华大学出版社，2 0:4— 3 M] 0 5 6 6[] as . C m l nls[] 3h d N wY r:M G a - i o aisn, 17:18 13 4 L r VA o pe A a i M . t . e ok c rw H lC mpne c 9 9 0— 2 x ys e l I【 SreL n. C m l nls[] 3h d N wY r:S r grV r g 9 3 16 19 5 eg a g o pe A a i M . t . e ok pi e- el,19: 2 - 4 】 x ys e n a