9.2两条直线的位置关系

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数学

苏(文)

§9.2 两条直线的位置关系第九章 解析几何

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基础知识·自主学习要点梳理1.两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行 对于两条不重合的直线 l1、l2,其斜率 分别为 k1、k2,则有 l1∥l2 k1=k2 . 特别地，当直线 l1、l2 的斜率都不存在 时，l1 与 l2 平行 . (2)两条直线垂直 如果两条直线 l1,l2 斜率存在，设为 k k1,k2,则 l1⊥l2 k1·2=-1 ,当 一条直线斜率为零，另一条直线斜率 不存在时，两条直线 垂直 .基础知识 题型分类思想方法 练出高分

难点正本 疑点清源

1.两条直线平行、垂直的 充要条件是有大前提 的，就是两条直线都有 要单独考虑.

斜率.当直线无斜率时，

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基础知识·自主学习要点梳理2.两直线相交 交点： 直线 l1: 1x+B1y+C1=0 和 l2: A A2x+B2y+C2=0 的公共点的坐标与 A1x+B1y+C1=0, 方程组 的解一 A2x+B2y+C2=0 一对应. 相交 方程组有 唯一解 ， 交点坐标 就是方程组的解； 平行 方程组 无解 ； 重合 方程组有 无数个解 .难点正本 疑点清源

1.两条直线平行、垂直的 充要条件是有大前提 的，就是两条直线都有 要单独考虑.

斜率.当直线无斜率时，

基础知识

题型分类

思想方法

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基础知识·自主学习要点梳理3.三种距离公式 (1)点 A(x1,y1)、B(x2,y2)间的距离： x2-x1 2+ y2-y1 2 . |AB|= (2)点 P(x0,y0)到直线 l:Ax+By+C =0 的距离： |Ax0+By0+C| A2+B2 d=2. 与直线 Ax+By+C=0(A2 +B2≠0)平行、垂直的直 线方程的设法： 一般地，平行的直线方 程设为 Ax+By+m=0; 垂直的直线方程设为 Bx -Ay+n=0.

难点正本 疑点清源

.

(3)两平行直线 l1:Ax+By+C1=0 与 l2: Ax+By+C2=0 (C1≠C2)间的距离 |C2-C1| A2+B2 为 d= .基础知识 题型分类思想方法

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基础知识·自主学习基础自测

题号1 2

答案-4

解析

1

34 5

x+y+1=0 或 x+y-3=0x-2y-1=0-10

基础知识

题型分类

思想方法

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题型分类·深度剖析题型一 两条直线的平行与垂直思维启迪 解析 探究提高

【例 1】 已知直线 l1:ax+2y+6 =0 和直线 l2:x+(a-1)y+a2 -1=0. (1)试判断 l1 与 l2 是否平行； (2)l1⊥l2 时，求 a 的值.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

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题型分类·深度剖析题型一 两条直线的平行与垂直思维启迪 解析 探究提高

【例 1】 已知直线 l1:ax+2y+6 =0 和直线 l2:x+(a-1)y+a2 -1=0. (1)试判断 l1 与 l2 是否平行； (2)l1⊥l2 时，求 a 的值.

运用两条直线平行或垂直的条件 求解，要注意斜率为 0 或斜率不 存在的情形.

基础知识

题型分类

思想方法

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题型

分类·深度剖析题型一 两条直线的平行与垂直思维启迪 解析 探究提高

【例 1】 已知直线 l1:ax+2y+6 =0 和直线 l2:x+(a-1)y+a2 -1=0. (1)试判断 l1 与 l2 是否平行； (2)l1⊥l2 时，求 a 的值.

解

(1)方法一

当 a=1 时，

l1:x+2y+6=0,

l2:x=0,l1 不平行于 l2;

当 a=0 时，l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1 不平行于 l2;

当 a≠1 且 a≠0 时，两直线可化 a 1 为 l1:y=- x-3,l2:y= x 2 1-a -(a+1),

基础知识

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思想方法

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题型分类·深度剖析题型一 两条直线的平行与垂直思维启迪 解析 探究提高

【例 1】 已知直线 l1:ax+2y+6 =0 和直线 l2:x+(a-1)y+a -1=0. (1)试判断 l1 与 l2 是否平行； (2)l1⊥l2 时，求 a 的值.2

l1∥l2

1 a - = , 2 1-a -3≠- a+1 ,

解得 a=-1,综上可知，a=-1 时，l1∥l2, 否则 l1 与 l2 不平行.

方法二 由 A1B2-A2B1=0,得 a(a-1)-1×2=0,由 A1C2 - A2C1≠0 , 得 1×6≠0,基础知识 题型分类思想方法 练出高分

a(a2 - 1) -

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题型分类·深度剖析题型一 两条直线的平行与垂直思维启迪 解析 探究提高

【例 1】 已知直线 l1:ax+2y+6 =0 和直线 l2:x+(a-1)y+a -1=0. (1)试判断 l1 与 l2 是否平行； (2)l1⊥l2 时，求 a 的值.2

∴l1∥l2 a a-1 -1×2=0, a a2-1 -1×6≠0, a2-a-2=0, 2 a a -1 ≠6,

a=-1,

故当 a=-1 时，l1∥l2,否则 l1 与 l2 不平行. (2)方法一 当 a=1 时，l1:x +2y+6=0,l2:x=0,l1 与 l2 不垂直， a=1 不成立； 故基础知识 题型分类思想方法 练出高分

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题型分类·深度剖析题型一 两条直线的平行与垂直思维启迪 解析 探究提高

【例 1】 已知直线 l1:ax+2y+6 =0 和直线 l2:x+(a-1)y+a2 -1=0. (1)试判断 l1 与 l2 是否平行； (2)l1⊥l2 时，求 a 的值.

当 a=0 时，l1:y=-3,l2:x -y-1=0,l1 不垂直于 l2;当 a≠1 且 a≠0 时，l1:y= a - x-3, 2 1 l2 : y = x - (a + 1) , 由 1-a a 1 2 - · =-1 a= . 3 2 1-a

方法二

由 A1A2+B1B2=0 得 a 2 +2(a-1)=0 a=3.基础知识 题型分类思想方法 练出高分

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题型分类·深度剖析题型一 两条直线的平行与垂直思维启迪 解析 探究提高

【例 1】 已知直线 l1:ax+2y+6 =0 和直线 l2:x+(a-1)y+a2 -1=0. (1)试判断 l1 与 l2 是否平行； (2)l1⊥l2 时，求 a 的值.

(1)当直线的方程中存在字母参 数时， 不仅要考虑到斜率存在的 一般情况， 也要考虑到斜率不存 在的特殊情况. 同时还要注意 x、 y 的系数不能同时为零这一隐含 条件. (2)在判断两直线的

平行、垂直 时， 也可直接利用直线方程的系 数间的关系得出结论.

基础知识

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题型分类·深度剖析变式训练 1 已知两直线 l1:mx+8y+n=0 和 l2:2x+my-1=0.试确定

m、n 的值，使：(1)l1 与 l2 相交于点 P(m,-1);(2)l1∥l2; (3)l1⊥l2,且 l1 在 y 轴上的截距为-1.解 m2-8+n=0 (1)由题意得 2m-m-1=0

,解得 m=1,n=7.

(2)当 m=0 时，显然 l1 不平行于 l2;m 8 n 当 m≠0 时，由 = ≠ , 2 m -1 m· m-8×2=0, 得 8× -1 -n· m≠0, m=4, ∴ n≠-2, m=-4, 或 n≠2.

即 m=4,n≠-2 时或 m=-4,n≠2 时，l1∥l2.基础知识 题型分类思想方法 练出高分

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题型分类·深度剖析变式训练 1 已知两直线 l1:mx+8y+n=0 和 l2:2x+my-1=0.试确定

m、n 的值，使：(1)l1 与 l2 相交于点 P(m,-1);(2)l1∥l2; (3)l1⊥l2,且 l1 在 y 轴上的截距为-1.(3)当且仅当 m· 2+8· m=0,即 m=0 时，l1⊥l2.n 又-8=-1,∴n=8.

即 m=0,n=8 时，l1⊥l2,且 l1 在 y 轴上的截距为-1.

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题型分类·深度剖析题型二 两条直线的交点问题思维启迪 解析

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