数学：3.3《函数的单调性与导数》课件(新人教版A选修1-1)

单调性的定义

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I,如果对 于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1 , x2,当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x) 在区间D上是增函数.

对于函数y=f(x)在某个区间上单调递增或 单调递减的性质，叫做f(x)在这个区间上的 单调性，这个区间叫做f(x)的单调区间。

2-4x+3的单调性？? 如何确定函数 y=x2 1. 图像法:函数y=x -4x+3的图象 y

0 2

x递增区间：(2,+∞).递减区间：(-∞,2).

2.定义法由定义证明函数的单调性的一般步骤：

(1)设x1、x2是给定区间的任意两个值，

且x 1< x 2.(2)作差f(x1)-f(x2),并变形. (3)判断差的符号(与0比较),从而得

函数的单调性.

思考：那么如何求出下列函数的单调性呢? (1)f(x)=2x3-6x2+7 (2)f(x)=ex-x+1 (3)f(x)=sinx-x 发现问题：用单调性定义讨论函数单调性虽然 可行，但十分麻烦，尤其是在不知道函数图象

时。例如：2x3-6x2+7,是否有更为简捷的方法呢？下面我们通过函数的y=x2-4x+3图象来

考察单调性与导数有什么关系

观察函数y=x2-4x+3的图象上的点的切线：y

0

. . . .. ..2

总结:该函数在区间 (-∞,2)上递减, 切线斜率小于0,即其 导数为负,在区间(2 ,+∞)上递增,切线 斜率大于0,即其 导数为正.而当x=2时 x 其切线斜率为0,即导 数为0.函数在该点单 调性发生改变.

上面是否可得下面一般性的结论:

1.回顾一下函数单调性的定义，利用导数的几何 意义，研究单调性的定义与其导数正负的关 系？ 在某个区间(a,b)内， ①如果f’(x)>0, 那么函数y=f(x)在这个区间内单调 递增. ②如果f’(x)<0, 那么函数y=f(x)在这个区间内单调 递减.

1.如果在某个区间内恒有f’(x)=0,那么函数f(x) 有什么特性？

观察下面一些函数的图象, 探讨函数的单调性与其导函 数正负的关系. y = x3y y=x y y = x2 y y

1 y xx

O

x x

O

x

O

O

结论：在某个区间(a,b)内,如果 f ( x ) 0 ,那么函数 y f ( x )在这个区间内单调递增; 如果 f ( x ) 0,那么

函数 y f ( x ) 在这个区间内单调递减.如果在某个区间内恒有f´(x)=0,则f(x)为常数函数

在某个区间(a, b)内,

f '( x ) 0

f ( x)在(a, b)内单调递增

f '( x ) 0 f ( x)在(a, b)内单调递减

注意：应正确理解 “ 某个区间 ” 的含义,它 必是定义域内的某个区间。

已知导函数f’(x)下列信息： ①当1<x<4时，f’(x)>0; ②当x>4,或x<1时，f’(x)<0; ③当x=4,或x=1时，f’(x) =0. 试画出函数f(x)图象的大致形状。y y=f(x)

O

1

4

x

y f '( x )的图象如 设 f '( x )是函数 f ( x ) 的导函数， 右图所示,则 y f ( x ) 的图象最有可能的是( )y

y f ( x)1 2 x o

y

y f ( x)y 1 2 x o

o

y

f '( x )2 x

(A)y

(B)

y f ( x)2

y

y f ( x)x

o 1

x

o 1 2

(C)

(D)

设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象 如右图所示，则导函数y=f’(x)的图象可能 是( )

(A)

(B)

(C)

(D)

函数f ( x ) x ax bx c , 其中a , b, c为常数，3 2

当a 2 3b 0时，f ( x )在R上( A ) ( A)增函数 ( B )减函数 (C )常数 ( D )既不是增函数也不是减函数

你能小结求解函数单调区间的步骤吗？3 2

判断函数 f ( x) 2x 3x 12x 1 的单调性， 并求出其单调区间.3 2

因为 f ( x) 2 x 3x 12 x 1 同类单 调区间 所以 f '( x) 6x2 6x 12 (1)确定函数y=f(x)的定义域； 用“,” 当 f '( x) 0, 即x 1或x 2时， 隔开 (2)求导数f’(x)3; 2 函数 f ( x) 2x 3x 12x 1 单调递增. (3)解不等式 f’(x)>0 ,解集在定义域内的部分 即 2 x 1时， 当 f '( x) 0, 为增区间； 3 2 函数 f ( x) 2f’(x)<0 x 3x ,解集在定义域内的部分 12x 1 单调递减. (4)解不等式 3 2 f ( x ) 2 x 3 x 12x 1 的单调递增区间为 (1, ),( , 2) 函数 为减区间. 单调递减区间为(-2,1)

判断下列函数的单调性，并求出单调区间：

解: (1) 因为因此, 函数 在

, 所以 上单调递增.

判断下列函数的单调性，并求出单调区间：

(2) 因为当 当 ,即 ,即 时, 函数 时, 函数

, 所以单调递增; 单调递减.

单调递增区间为(1,+ );单调递减区间为(- ,1);