平行四边形中常用辅助线的添法

数学

数理化学习

解:(1)过C作CE⊥AB于E,则CD=AE=3,CE=4,可得BC=5,所以梯形ABCD的周长为18.

PQ平分ABCD的周长,所以x+y=9,因为0≤y≤6,所以3≤x≤9,所求关系式为:y=-x+9,3≤x≤9.(2)由图7可知,P只能在BC边上,7≤x≤9.

PB=12-x,BQ=6

-y,

如果线段PQ能平分梯形ABCD的面积,则有

xy=9.2

x+y=9,xy=18.x=3,y=6;

(x=6,y=3舍去).

(b)当4≤x≤7时,点P在DC边上,此时SADPQ=

×4(x-4+y).2

因为PQ∥AC,所以△BPQ∽△BCA,

所以=,得=,

BCBA56

如果线段PQ能平分梯形ABCD的面积,则有

×4(x-4+y)=9,2

即　6x-5y=42,得x=

x+y=9,

x+y=9,

2x=.

.

6x-5y=42

,y=11(3)梯形18.

当P不在B边上,则3≤x≤7,

(a)当3≤x<4时,P在AD边上,S△APQ=

x3PQ能平分梯形

综上所述,今年的几何试题具有形式新,问题情境新,表达方式新,设问角度新,命题立意新,解题方法新,思想方法新等特点,且难度适中,能适应于各种层次的学生,有效地考查了学生的创新精神和实践能力.

(初三)

xy.2

平行四边形中常用辅助线的添法

江苏省昆山市周庄中学(215325)徐卫东江苏省昆山市张浦中学(215321)刘建英

　　平行四边形(包括矩形、正方形、菱形)的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质,所以在添辅助线方法上也有共同之处,目的都是造就线段的平行、垂直,构成三角形的全等、相似,把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理,其常用方法有下列几种.举例简解如下. 4

一、连对角线或平移对角线例1　如图1,E是 ABCD中AB延长线上一点,ED交BC于F.求证:

S△ABF=S△CEF.

简证:连BD,由图易得S△BDE=S△BCE(同底等

数学

2008年第2期

高),S△ABF=S△BDF(同底等高)

所以S△BDE-S△BEF=S△BCE-S△BEF,所以S△BDF=S△ECF,即S△ABF=S△CEF.例2　如图2, ABCD中,对角线AC、BD交于O,

AC=a+b,BD=a+c(b>c),AB=m,求m的取值范

=(20-x) sin60°=

(20-x).2

因为AD∥BC,所以

==,==,ADED2BMBF2

所以BM=　　AN=则S△AMN=

==-

围.

简解:要求AB的值,需把AC、BD、AB集中

在一个三角形中,过C作CE∥DB交AB的延长线于E.由图易得DBEC是 ,

所以CE=DB=a+c,　　BE=DC=AB=m,即AE=2m,在△ACE中,

AC-CE<AE<AC+CE,

x,DN=BM=x,224x,4

AH AN2

(20-x)x2242xx.4

即

(b-c)<m<(2a+b+c).22

,或过对角

,构造线段平行或中位例5　如图5,

ABCD中,N是AB中

点,BE=BC,NE与

3

BD交于F求

的值.BD

二、例3中,∠DBC=DEDB交BC的延长线于E,

AD=a,DE=b.求S△DCE.

简解:过D作DF⊥BE于F.由题意得∠DEB=60°,

所以DF=DEsin60°=b,BE=2b,

2

则CE=BE-BC=2b-a,所以S△DCE=

DF CE=b(2b-a).24

例4　如图4,

ABCD的周长为40,∠ABC=60°,E、F是BD上的三等分点,AE的延长线交BC于M,

MF的延长线交AD于N.设BC=x,S△AMN=y.

简解:作AC交BD于O,连ON.由图得ON　BC.

2

因为=,=,=,

ONOFBC3BC2所以=,所以=,

ON3OF3所以=,则=.

BO5BD5例6　如图6,

ABCD中,O是对角线交点,F是AB延长线上一点,OF交BC于E,AB

=a,BC=b,BF=c.

试求y与x的函数关系.

简解:过A作AH⊥BC于H.因为BC=x,所以AB=20-x,所以AH=AB sin∠ABC

求BE长.

简解:作OG∥CB交AB于G.因为O是AC

5

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中点,所以OG=

又

=,OGGF

BC=b.22

b c

所以BE===.

GFa+2c

a+c2

分线上,则PB平分∠APC.

五、过顶点作对角线的垂线,构成线段平行或三角形全等

例9　如图9,E是 ABCD对角线BD上一点,EF⊥BC,EG⊥BA,垂足分别为F、

G.求证:

=.ABBC

四、连接顶点与对边上一点的线段或延长

这条线段,构造三角形相似或等积三角形

例7　如图7,正方形ABCD中,E、F分别为CD、DA的中点,BE、CF交于P.求证AP=AB.

简证:延长CF交BA的延长线于G.

因为FD=FA,易得△CDF≌△GAF,所以AG=CD=AB,则A为B.又CE=DF,CB所以RtF,所以∠1.

因为∠1+∠3=90°,所以∠2+∠3=90°,所以∠CPB=90°,所以∠BPG=90°.则PA是Rt△BPG的斜边上中线,所以AP

=AB.

简证:作AH⊥BD于H,CK⊥BD于K,易得AH　CK,连AE、CE.

因为S△AED=　　S△CED=

AH ED,2

CK 2

S△A△CED△S△AEB=S△CEB,

AB EG=BC EF,

22则

=.ABBC

例10　如图10,

ABCD是正方形,BE∥AC,AE=AC,CF∥AE.求证:∠AEB=2∠BCF.

简证:连BD.过A作

AH⊥AC交BE于H,AC

例8　如图8, ABCD中,E、F分别是DC、DA上一点,AE=CF,AE与CF交于P.求证PB平分∠APC.

简证:连BE、BF.由图易证得

S△ABE=S△CBF=S ABCD.

2

过B作BH⊥CF、BG⊥AE,垂足分别为H、G.

因为S△ABE=AE BG,

2　　S△CBF=

CF BH,2

与BD交于O.由图中易证得AHBO为正方形,所

以AH=AO=AC.

2

因为AE=AC,

所以AH=

AE,2

所以在Rt△AHE中,∠AEH=30°.又因为AEFC为菱形,

所以∠ACF=∠AEF=30°.又∠BCF=∠ACB-∠ACF=45°-30°=15°,则∠AEB=2∠BCF.

(初三)

所以BG=BH,所以B点在∠APC的角平 6