第32届IMO一试题的推广

第32届IMO试题：已给△ABC,设I是它的内心,∠ABC的内角平分线分别与对边交与A'B'C'。证明：1/4＜(AI·BI·CI)/(AA'·BB’·CC')≤8/27. 本文给出它的一个推广。

2 ',,

.

一备,

+ . .

方刀+丁污5

.. S

性五气 L十 5 l t l

,, ( 1 5 ) )结合 ( 1 6 )式于是:, (过D D对十刀 B+万℃》

…

对一

二 S ln艺

1

冬号号),,

,

)

"(利用

1

,

其中等号当且仅当(3+ e t g

一1+e

,

'

六石x,

月

1

.

1

,

_

_

十

石,

)

分

"3,

( 1了)

= xe

二 xe

时成立e

故有

A

e

tg B+

tgB

t g C+

t g Ce tg A )

要J

,

F孙c即得,

)

.

上式两边同加上 A D

+

BE一

十

",

!

""工

十

c c

l

)

告.

' D A

F C F"C十

,

1

t g月e亡 B g

十.

丁一

工讨 C t g o一

—

一

1

i万

一子布一卜 e亡七 g~

"2,

不,

一

且易知其中等号当且仅当△刁B为正三角形 C时成立 1 3 )的证明不等式 (,不难证明 H D=刀遨 H E=丑 B H F=万℃,由前面问题 2的不等式 ( 5 )可得 ( 2 H刀十 H刀+ H F )成迁日+ B H+ C H._

砚爵翻 )列+ c t g

但 .t g A .t g B

Bc七 C兰一

+ e tg

C e tg A

二

1

,

,

,

,

所以而蔽l+e

.

,

靛丽夕s

石

+

,

.

上式两边同加上HDT o.

HD了丁

+

HE,

*

一

H尸,

,

1 t g Ce t g A

4 9一

簇可n

则有.

T l

一

卜+

HE

二

.

十,

二一 1 ( H尸镇

刀

音肋

.

十

刀五+

.二

即

D A

,

EB

+

F c刀E

工

'C尸

两边同加上月刀A"t

+,

+

告,

' D BE A

F C F c

.二

,

即七.

'

戴曝拿,

in B s i

十 c

b亏三佃

或门气石丁耳 6(] 8)

C

s

in C s in A

,

)

号=s

即得

" c C

:

由不等式 ( 5且仅当△ A B C

合 )等号成立条件知.

(

' D A

"E,

F c

,

.

(1 3 )

经计算知A D刀刀ZRs ne o s

ZR in

s

in B s i n C

c o s

(B

一

C)ZRs

为正三角形时成立

其中等号当A

i C

A

(C

一

A)

C万

in AsinBz

e o s

吐一 B )

为R因△ A B C是锐角三 c t,角形所以 t g A c g B .t g C均为正数由于对任,,,,

)不等式 ( 1 4的证明 C外接圆半径设△朋

故由 ( 1 8 )式可得刁

C

意正数等式

二

:

,

x

:

,

二

,

成立不

妙IM O,,,,

.

.

..

点上了十刀乃

. .~多十七厂梦

.

-二尸

9

二

艺

八二工

鱼'A A4'

+

BB

:

+

C

i

于是 A A

I

BB

主

CC

提

鲁

A 'D

BE CF,

(",

且易知其中等号当且仅当△ A B C为正三角形时成立.

第脸届顾栋明王敦明:

一试题的推广口

(江苏张家港市港 (湖南祁阳师范 )

中学 )

B

,

, C

.

2第3届 I M O第一题是已知△A贺设 I是它的内心角A C的内角平分线分别交其对边于才 B,:求证一

直线A lB产,

,

Bl

,

Cl

分别交B C.

,

CA

,

AB于 A

户,

,

C

产,

则", J

〔1,

月万~ i了云一万7币万〕二.

月1 B了 C l又.

o

_

8,

刀刀,

'

一 8牛<月月产 B刀沂 C C/毛 2 7去不不~羔 4\矛访一言尸畏,

1

Al

Bl

Cl.

其中等号当且仅当△A B C为正三角形时成立( 2 )当I,

"

乓只彩乙 '

.

位于以△ A B C的中位线为边的,

本题可作如下推广命题 13 f)

已知 I是△ A刀C内的任一点

△刀刀刃内时

~J

1—

多;

一'

4

第32届IMO试题：已给△ABC,设I是它的内心,∠ABC的内角平分线分别与对边交与A'B'C'。证明：1/4＜(AI·BI·CI)/(AA'·BB’·CC')≤8/27. 本文给出它的一个推广。

其中等号当且仅当 I为△ A B某边中点时成 C立.

8

26

犷

(R,

一

2

了

)-

27

证明

:

设

鑫,

=

介

昌址艾铃一卜一同理聂卜恕:一,,

爵

一

;

,

一:

易知

分别是△姓B C的外接回与内切圆半径当且仅当△ A B C为正三角形时两个不等式取等号尸产当I为内心时 A A B C是△ ABC的三内角平分线因此其中天,.

一

又丽更面,

一

,

.

,

,

,

尹

,

,

币补全口人公'

凡咬

尹

c

.

,

.

,

_"-

月,

,

,

a

二

,

,

一

卜争扭"

,

△通姓 C中的乙姓C A的平分线

尹

"

由此得 A C '~~ .'一

二

子产 Ce

下, '+乡,

b

又因为C l是~z,

_

_

_

_

.

_

_

_

一

产甘

一,

尸

所以

之一'丑,

1一o

.△通B口

式兹落S'

AI

.一刀了口.

b L习心一 a口一l一一 a,

+

x

十

g

+

z=

3

一

S

+

e r通刀c

+

S

么通 z刀

A月,Bl

ba

+

+

b

+

''

同理乙

S,

.通

+

由均值不等式X

得+,

be'

Cl〔℃厂

探+一 a

,

,

!盖万=.

x '

十,

〕 2丁一,

,

8

BB'

,

一 a+..

b+

十

b

+e

c

'

所以+c

A l B l Cl

(az,

+

当且仅当

x二

之=

号

,

即△A B C为正三角因为 I在中位线~ 1子夕分1+B__

C剧那 c,

尸

'.

一.

吞 (a+ ) (a+ …… 此处隐藏：1858字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……