2013届高考文科数学一轮复习考案2.12 导数的综合应用

§2.11 导数的综合应用

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考 1

点

考纲解读 了解函数单调性和导数的关系;能利用导数研究

导数在研究函数中的应

用

函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次);了解函数在某点取得极值 的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大 值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次);会 求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式 函数一般不超过三次). 在综合应用中特别注意用导数在证明不等式、求 参数范围、处理恒成立等问题的工具性作用.

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导数的综合应用是高考考查的重点内容,主要考查函数的性质, 同时考查导数的相关知识,知识载体主要是三次函数、指数函数、 对数函数.综合题的主要题型:(1)利用导数研究函数的单调性、极值 与最值问题;(2)考查以函数为载体的实际应用题,主要是先建立所求 量的目标函数,再利用导数进行求解.(3)函数、导数与不等式等相综 合.结合《考纲》预测2013年试题既有基础题,也有综合题,试题难度 中等偏上或偏难.

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1.函数在某个区间上恒为增函数(或减函数)的问题,关键是利用导数 将问题转化为函数的导数在此区间上恒为正(或负)的问题,也就是 导函数最值大于(或小于)0的问题.具体处理时,一定要注意端点值的 讨论. 2.利用导数证明不等式问题时,一般根据要证明的不等式构造函数, 转化为函数的最值问题.具体的证明步骤为:①将所给的不等式移项 、整理、变形为求证不等式f(x)>0(<0)的形式;②利用导数研究函数 在给定区间上的单调性,得到函数的最值;③将不等式问题转化为函

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数的最值恒大于0或者小于0的问题. 3.利用导数研究方程的根的个数,其具体步骤为:①将方程移项、整 理,转化为方程F(x)=0;②利用导数研究函数y=F(x)图象的变化情况; ③利用数形结合思想研究F(x)与x轴交点的个数,从而得到方程根的 个数.

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1.已知函数f(x)的导函数f‘(x)的图象如图所示, 那么函数f(x)的图象最有可能的是 ( )

【解析】由f'(x)的图象知0和-2是f(x)的极值点,且x>0时,f(x)单调递 减,故选A. 【答案】A考纲解读 典例精析 命题预测 技巧归纳 知识盘点 真题探究 基础拾遗 例题备选

2.设函数f(x)=x3- 2-2x+5,

若对于任意x∈[-1,2]都有f(x)<m成立,则实 x1 2

数m的取值范围为 ( (A)(7,+∞). (C)[7,+∞).

) (B)(8,+∞).

(D)(9,+∞).2 3

【解析】f(x)<m恒成立,即为f(x)最大值<m恒成立,f'(x)=3x2-x-2,在[-1,- ]

和[1,2]上,f(x)为增函数,在[- ,1]上,f(x)为减函数,所以f(x)的最大值为f2 3

(2)=7,所以m的取值范围为(7,+∞). 【答案】A

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3.(2011年湖南卷)设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=ln x的图象分别交于 点M,N,则当|MN|达到最小时t的值为 ( (A)1. (B) .2 1

)2

(C) .5 2

(D) .21

【解析】由题可知|MN|=x2-ln x(x>0),不妨令h(x)=x2-ln x,则h'(x)=2x- ,x

令h'(x)=0解得x= ,因x∈(0, )时,h'(x)<0,当x∈( ,+∞)时,h'(x)>0,2 2 2 2 2 2

所以当x= 时,|MN|达到最小.即t= .2 2 2 2

【答案】D

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4.(2011年辽宁卷)已知函数f(x)=ex-2x+a有零点,则a的取值范围是 .

【解析】f(x)=0有零点,等价于a=2x-ex有解,设g(x)=2x-ex,则g'(x)=2-ex.当x≤ln 2时,g(x)单调递增,当x≥ln 2时,g(x)单调递减,∴g(x)max=g(ln 2)=2ln 2-2,所以,a的取值范围是(-∞,2ln 2-2]. 【答案】(-∞,2ln 2-2]

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题型1利用导数研究某个区间上恒为单调函数的问题

例1 已知函数f(x)=x3-3ax2-bx,其中a,b为实数.(1)若f(x)在x=1处取得的极值为2,求a,b的值; (2)若f(x)在区间[-1,2]上为减函数,且b=9a,求a的取值范围. 【分析】要使函数f(x)在区间[-1,2]内是减函数,只需f(x)的导数在区 间[-1,2]内恒小于或等于0. 【解析】(1)由题设可知:f'(1)=0且f(1)=2, 即 3 6 a b 0, 1 3 a b 2

解得a= ,b=-5.3考纲解读 典例精析 命题预测 技巧归纳 知识盘点 真题探究 基础拾遗 例题备选

4

(2)∵f'(x)=3x2-6ax-b=3x2-6ax-9a, 又f(x)在[-1,2]上为减函数, ∴f'(x)≤0对x∈[-1,2]恒成立, 即3x2-6ax-9a≤0对x∈[-1,2]恒成立. a 1, 3 6 a 9 a 0, 即 则有 ∴a≥1, 4 1 2 1 2 a 9 a 0, a , 7

∴f'(-1)≤0且f(2)≤0,

∴a的取值范围是a≥1.

【点评】在处理函数在某个区间上恒为增函数或减函数的问题时, 注意检验端点值是否合适.考纲解读 典例精析 命题预测 技巧归纳 知识盘点 真题探究 基础拾遗 例题备选

变式训练1 值范围.

已知函数f(x)= 在区间(-2,+∞)上是增函数,求a的取x 2

ax 1

【解析】f'(x)= 1

a ( x 2 ) ( a x 1) ( x 2)2

=

2a 12

( x 2)

.

由f'(x)≥0,得a≥ ,2

但是,当a= 时,f(x)= ,显然在(-2,+∞)上不是增函数,故a> .1 1 1 2 2 2

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题型2利用导数证明不等式问题

例2 已知函数f(x)= 在点(-1,f(-1))的切线方程为x+y+3=0.x 12

ax b

(1)求函数f(x)的解析式; (2)设g(x)=ln x,求证:g(x)≥f(x)在x∈[1,+∞)上恒成立. 【分析】要证明 g(x)≥f(x),通过等价转化后构造新的函数,在x∈[1,+ ∞)上恒大于或等于0. 【解析】(1)将x=-1代入切线方程得y=-2, ∴f(-1)= =-2,化简得b-a=-4,1 1 b a

f'(x)=

a ( x 1) ( a x b ) 2 x2

(1 x )2

2

,命题预测 技巧归纳 知识盘点 真题探究 基础拾遗 例题备选

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f'(-1)=

2 a 2 (b a ) 4

= = =-1,2b 4b 2

解得:a=2,b=-2. ∴f(x)= .x 12

2x 2

(2)由已知得要证明ln x≥ 在[1,+∞)上恒成立,即x 12

2x 2

只要证(x2+1)ln x≥2x-2成立, 即要证x2ln x+ln x-2x+2≥0在[1,+∞)上恒成立. 设h(x)=x2ln x+ln x-2x+2, h'(x)=2xln x+x+ -2.1 x考纲解读 典例精析 命题预测 技巧归纳 知识盘点 真题探究 基础拾遗 例题备选

∵x≥1,∴2xln x≥0,x+ ≥2,即h'(x)≥0,1 x

∴h(x)在[1,+∞)上单调递增,h(x)≥h(1)=0, ∴g(x)≥f(x)在x∈[1,+∞)上恒成立.

【点评】利用导数研究不等式问题的处理办法是构造新的函数, …… 此处隐藏：2340字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……