2014届高考数学一轮复习 第7讲《二次函数与一元二次方程》热点针

第7讲

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二次函数与一元二次方程

1.已知二次函数y＝x－2ax＋1在区间(2,3)内是单调函数，则实数a的取值范围是( A )

A．a≤2或a≥3 B．2≤a≤3

C．a≤－3或a≥－2 D．－3≤a≤－2 解析：由已知可得二次函数图象的对称轴方程为x＝a，又函数在(2,3)内单调，所以a≤2或a≥3，故选A.

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2.二次函数y＝－x＋bx＋c的图象的最高点为(－1，－3)，则b与c的值是( D ) A．b＝2，c＝4 B．b＝2，c＝－4 C．b＝－2，c＝4 D．b＝－2，c＝－4

b－ －21

解析：由已知 4×－1·c－b

3 4×－12

b＝－2

c＝－4

，

故选D.

3.(2012·福建晋江市第二次联考)已知函数f(x)＝x|x－4|－5，则当方程f(x)＝a有三个不同实根时，实数a的取值范围是( A )

A．－5＜a＜－1 B．－5≤a≤－1 C．a＜－5 D．a＞－1

2 x－4x－5 x≥4解析：因为f(x)＝ 2，在同一坐标系中作出函数f(x)与y＝a

－x＋4x－5 x<4

的图象，它们的交点个数就是方程f(x)＝a的根的个数，因此由图易知当f(x)＝a有三个不同实根时，实数a的取值范围是－5＜a＜－

1.

4.(改编)已知抛物线y＝ax＋bx＋c(a<0)过A(－3,0)，B(1,0)，C(－4，y1)，D(4，y2)四点，则y1与y2的大小关系是( A )

A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不能确定

－3＋1

解析：因为抛物线过A(－3,0)，B(1,0)两点，所以抛物线的对称轴为x＝1，

2

因为a＜0，抛物线开口向下，离对称轴远，函数值越小，比较可知D点离对称轴越较C点远，对应的纵坐标值小，即y1＞y2，故选A.

2

5.若函数y＝x＋(a＋2)x＋3，x∈[a，b]的图象关于直线x＝1对称，则b＝ 6 .

2

a＋2 －＝12解析：由已知 a＋b＝2

3

. 8

2

a＝－4

b＝6

，故b的值是6.

6.设二次函数f(x)＝ax＋2ax＋1在[－3,2]上有最大值4，则实数a的值为 －3或

解析：因为f(x)的图象的对称轴为x＝－1.

若a<0，则f(x)max＝f(－1)＝－a＋1＝4，所以a＝－3；

3

若a>0，则f(x)max＝f(2)＝8a＋1＝4，所以a8

3

综上得a＝－3或.

8

2

7.(2012·江苏省无锡市五校联考)已知二次函数f(x)＝ax＋bx＋c满足f(1)＝0，

c1

a>b>c (－2.

a2

a>0 解析：由f(1)＝a＋b＋c＝0，a>b>c知a＞0，c＜0，b＝－a－c，于是有 a>－a－c

－a－c>ccc1

所以>－2，且<

aa2

c1c1即－2<－(－2，－)．

a2a2

8.(2012·广东深圳12月)如图是一个二次函数y＝f(x)的图象．

，

(1)写出这个二次函数的零点；

(2)写出这个二次函数的解析式及x∈[－2,1]时函数的值域． 解析：(1)由图可知这个二次函数的零点为x1＝－3，x2＝1. (2)可设两点式f(x)＝a(x＋3)(x－1)，

又f(x)的图象过点(－1,4)点，代入得a＝－1，

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所以f(x)＝－x－2x＋3.

当x∈[－2,1]时，f(x)在[－2，－1]上递增，在[－1,1]上递减，所以最大值为f(－1)＝4，

又f(－2)＝3，f(1)＝0，所以f(x)的最小值为0， 所以x∈[－2,1]时函数的值域为[0,4]．

9.(2013·山东省济南质检)二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1. (1)求f(x)的解析式；

(2)在区间[－1,1]上，y＝f(x)的图象恒在直线y＝2x＋m上方，试确定实数m的取值范围．

2

解析：(1)由f(0)＝1，可设f(x)＝ax＋bx＋1(a≠0)，

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故f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)＋b(x＋1)＋1－(ax＋bx＋1)＝2ax＋a＋b，

2a＝2 a＝12

由题意得 ，解得 ，故f(x)＝x－x＋1.

a＋b＝0 b＝－1

2

(2)由题意得，x－x＋1>2x＋m在x∈[－1,1]上恒成立，

2

即x－3x＋1>m对x∈[－1,1]恒成立，

2

设g(x)＝x－3x＋1，则问题可转化为g(x)min＞m， 又g(x)在[－1,1]上递减，

故g(x)min＝g(1)＝－1，故m<－1.