2013-2014中考数学复习 第十八讲30 等腰三角形与直角三角形(含

第十八讲 等腰三角形与直角三角形

【基础知识回顾】 一、等腰三角形

1、定义：有两边的三角形叫做等腰三角形，其中的三角形叫做等边三角形

2、等腰三角形的性质：

⑴等腰三角形的两腰等腰三角形的两个底角 简称为 ⑵等腰三角形的顶角平分线 、 互相重合，简称为 ⑶等腰三角形是轴对称图形，它有 条对称轴，是 3、等腰三角形的判定：

⑴定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形 ⑵有两 相等的三角形是等腰三角形，简称

【名师提醒：1、等腰三角形的性质还有：等腰三角形两腰上的 相等，两腰上的 相等，两底角的平分线也相等 。2、因为等腰三角形腰和底角的特殊性，所以在题目中往常出现对边和角的讨论问题，讨论边时应注意保证 ，讨论角时应主要底角只被为 角】

4、等边三角形的性质：⑴等边三角形的每个内角都都等于 ⑵等边三角形也是对称图形，它有 条对称轴 1、 等边三角形的判定：

⑴有三个角相等的三角形是等边三角形

⑵有一个角是度的三角形是等边三角形 【名师提醒：1、等边三角形具备等腰三角形的所有性质

2、有一个角是直角的等腰三角形是 三角形】

二、线段的垂直平分线和角的平分线

1、线段垂直平分线定义：一条线段且这条线段的直线叫做线段的垂直平分线

2、性质：线段垂直平分线上的点到得距离相等 3、判定：到一条线段两端点距离相等的点在 4、角的平分线性质：角平分线上的点到的距离相等

5、角的平分线判定：到角两边距离相等的点在

【名师提醒：1、线段的垂直平分可以看作是 的点的集合，角平分线可以看作是 的点的集合。

2、要能够用尺规作一条已知线段的垂直平分线和已知角的角平分线】 三、直角三角形：

1、勾股定理和它的逆定理：

勾股定理：若 一 个直角三角形的两直角边为a、b斜边为c则a、b、c满足 逆定理：若一个三角形的三边a、b、c满足 则这个三角形是直角三角形

【名师提醒：1、勾股定理在几何证明和计算中应用非常广泛，要注意和二次根式的结合 2、勾股定理的逆定理是判断一个三角形是直角三角形或证明线段垂直的主要依据， 3、勾股数，列举常见的勾股数三组 、 、 】 2、直角三角形的性质：

除勾股定理外，直角三角形还有如下性质： ⑴直角三角形两锐角

⑵直角三角形斜边的中线等于

⑶在直角三角形中如果有一个锐角是300，那么它所对 边是 边的一半 3、直角三角形的判定：

除勾股定理的逆定理外，直角三角形还有如下判定方法：

⑴定义法有一个角是 的三角形是直角三角形 ⑵有两个角的三角形是直角三角形

⑶如果一个三角形一边上的中线等于这边的这个三角形是直角三角形

【名师提醒：直角三角形的有关性质在四边形、相似图形、圆中均有广泛应用，要注意这几条性质的熟练掌握和灵活运用】 【重点考点例析】 考点一：角的平分线

对应训练 1．（2013 泉州）如图，∠AOB=70°，QC⊥OA于C，QD⊥OB于D，若QC=QD，则∠AOQ= °．

考点二：线段垂直平分线

例2 （2013 义乌市）如图，AD⊥BC于点D，D为BC的中点，连接AB，∠ABC的平分线交AD于点O，连结OC，若∠AOC=125°，则∠ABC= ．

思路分析：先根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠C，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OB=OC，根据等边对等角的性质求出∠OBC=∠C，然后根据角平分线的定义解答即可．

解：∵AD⊥BC，∠AOC=125°，

∴∠C=∠AOC-∠ADC=125°-90°=35°， ∵D为BC的中点，AD⊥BC， ∴OB=OC，

∴∠OBC=∠C=35°， ∵OB平分∠ABC，

∴∠A∠=2∠OBC=2×35°=70°． 故答案为：70°． 点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，角平分线的定义，是基础题，准确识图并熟记各性质是解题的关键． 对应训练

2．（2013 天门）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（ ） A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm

2．C

考点三：等腰三角形性质的运用

例3 （2013 武汉）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是（ ） A．18° B．24° C．30° D．36° 思路分析：根据已知可求得两底角的度数，再根据三角形内角和定理不难求得∠DBC的度数． 解：∵AB=AC，∠A=36°， ∴∠ABC=∠ACB=7，2° ∵BD是AC边上的高， ∴BD⊥AC，

∴∠DBC=90°-72°=18°．

点评：本题主要考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是会综合运用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行答题，此题难度一般． 对应训练

3．44°

考点四：等边三角形的判定与性质

例4 （2013 黔西南州）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E= 度．

思路分析：根据等边三角形三个角相等，可知∠ACB=60°，根据等腰三角形底角相等即可得出∠E的度数．

解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB=60°，∠ACD=120°， ∵CG=CD，

∴∠CDG=30°，∠FDE=150°， ∵DF=DE

， ∴∠E=15°． 故答案为：15．

点评：本题考查了等边三角形的性质，互补两角和为180°以及等腰三角形的性质，难度适中． 对应训练

A．50° B．60° C．70° D．80°

思路分析：在△ADE中利用内角和定理求出∠AED，然后判断DE∥BC，利用平行线的性质可得出∠C．

解：由题意得，∠AED=180°

-∠A-∠ADE=70°， ∵点D，E

分别是AB，

AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC，

∴∠C=∠AED=70°．

故选C．

点评：本题考查了三角形的中位线定理，解答本题的关键是掌握三角形中位线定理的内容：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 对应训练 5．（2013 厦门）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD=24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF= 厘米．

5．3

考点六：直角三角形 例6 （2013 衢州）将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为（ ） A．3cm

B．6cm

C．D．cm

思路分析：过另一个顶点C作垂线CD如图，可得直角三角形，根据直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半，可求出有45°角的三角板的直角直角边，再由等腰直角三角形求出最大边． 解：如图，

过点C作CD⊥AD，∴CD=3，

A．2

B．C +1 D +1

6．D

考点七：勾股定理

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