第四章 随机变量的数字特征

第四章

随机变量的数字特征

第四章 随机变量的数字特征§1 数学期望

§2 方差§3协方差与相关系数

§1 数学期望1.1 数学期望的概念

引例1 分赌本问题(产生背景)A, B 两人赌技相同, 各出 赌金100元,并约定先胜三局者为 胜, 取得全部 200 元.由于出现意 外情况 ,在 A 胜 2 局 B 胜1 局时, 不得不终止赌博, 如果要分赌金, 该如何分配才算公平?

分析 假设继续赌两局,则结果有以下四种情况: AA AB BA BB A胜B负 A胜B负 A胜B负 B胜A负 B胜A负 A胜B负 B胜A负 B胜A负

把已赌过的三局(A 胜2局B 胜1局)与上述结果相结合, 即 A、B 赌完五局, 前三局: 后二局: A胜 2 局 B 胜 1 局 AA AB A胜 BA BB B胜

故有, 在赌技相同的情况下, 可能性大小之比为 3 : 1,

A, B 最终获胜的

1 3 即A 应获得赌金的 , 而 B 只能获得赌金的 4 . 4

因此, A 能“期望”得到的数目应为 3 1 200 0 150(元 ), 4 4 而B 能“期望”得到的数目, 则为 1 3 200 0 50(元 ). 4 4

若设随机变量 X 为:在 A 胜2局B 胜1局的前提 下, 继续赌下去 A 最终所得的赌金.

则X 所取可能值为:其概率分别为:

2003 4

01 4

因而A期望所得的赌金即为X的 “期望”值, 等于 即为3 1 200 0 150(元 ). 4 4

X 的可能值与其概率之积的累加.

引例2设有一批钢筋共10根，它们的抗拉强度指标为 110,135,140的各有一根；120和130的各有两根； 125的有三根.那么这10根钢筋的平均抗拉强度为1 (110 120 2 125 3 130 2 135 140) 10

1 2 3 2 1 1 110 120 125 130 135 140 10 10 10 10 10 10

126由于X 的分布律为

X P

110

120

125

130

135

140 1/10

1/10 2/10 3/10

2/10 1/10

所以随机变量 X 的平均值等于 X 的所有可能取值与 各自的概率的乘积之和，在概率论中，我们称随机变量 的平均值为数学期望.

1. 离散型随机变量的数学期望定义 设离散型随机变量 X 的分布律为 P { X xk } pk , k 1,2, .若级数 xk pk 绝对收敛, 则称级数 xk pkk 1 k 1

为随机变量 X 的数学期望, 记为 E ( X ). 即 E ( X ) xk pk .k 1

关于定义的几点说明 (1) E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的平均值不同 , 它从本质上体现 了随机变量 X 取可能值的真正的平均值, 也称 均值. (2) 级数的绝对收敛性保证了级数的和不 随级数各项次序的改变而改变 , 之所以这样要 求是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值 的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变. (3) 随机变量的数学期望与一般变量的算 术平均值不同.

假设

Xp

1

2

0.02

0.98

1 2 1 .5 , 随机变量 X 的算术平均值为 2E ( X ) 1 0.02 2 0.98 1.

98.

O

1

2

x

它从本质上体现了随机变量X 取可能值的平均值. 当随机变量 X 取各个可能值是等概率分布时 , X 的期望值与算术平均值相等.

实例1 谁的技术比较好?甲、 乙两个射手, 他们射击的分布律分别为

甲射手

击中环数 概率 击中环数 概率

8

9

10

0.3 0.1 0.68 9 10

乙射手

0.2 0.5 0.3

试问哪个射手技术较好?

解 设甲、乙射手击中的环数分别为 X 1 , X 2 .E ( X 1 ) 8 0.3 9 0.1 10 0.6 9.3(环), E ( X 2 ) 8 0.2 9 0.5 10 0.3 9.1(环),

故甲射手的技术比较好.

实例2 发行彩票的创收利润 某一彩票中心发行彩票 10万张, 每张2元. 设 头等奖1个, 奖金 1万元, 二等奖2个,奖金各 5 千元; 三等奖 10个, 奖金各1千元; 四等奖100个, 奖金各 100元; 五等奖1000个, 奖金各10 元.每张彩票的成 本费为 0.3 元, 请计算彩票发行单位的创收利润.

解 设每张彩票中奖的数额为随机变量X, 则X 10000 p 1 105

5000 2 105

1000 100 10 0 10 105 100 1051000 105 p0

每张彩票平均能得到奖金1 2 E ( X ) 10000 5 5000 5 0 p0 10 10 0.5(元 ),

每张彩票平均可赚2 0.5 0.3 1.2(元),

因此彩票发行单位发行 10 万张彩票的创收利润为100000 1.2 120000(元 ).

例1.2. 某人从把钥匙中任取一把去试房门，打不开 则除去，另取一把再试直至房门打开.已知钥匙中只有 一把能够把房门打开，求试开次数的数学期望。 解 设试开次数为X,则 X 的分布律为 由数学期望的定义， n 1 1 n(n 1) n 1 E( X ) k n n 2 2 k 11 P{ X k} , k 1, 2, , n n

例1.3 设随机变量X ~ B( n, p ), 求E ( X )解 因为n

pk P{ X k} Ck p k (1 p)n k (k 0,1, , n) nn n k

,所以E ( X ) kpk kC p (1 p)k 0 k 1 k n k

n! p k (1 p) n k k 1 ( k 1)!( n k )!

n

(n 1)! np p k 1 (1 p)n 1 ( k 1) k 1 ( k 1)![ n 1 ( k 1)]!n

np[ p (1 p)]

n 1

np