最新北师大版九年级数学下册第一章 直角三角形的边角关系小结与

最新北师大版九年级数学下册第一章 直角三角形的边角关系小结与复习

北师大版九年级数学下册

第一章 直角三角形的边角关系

小结与复习

最新北师大版九年级数学下册第一章 直角三角形的边角关系小结与复习

回顾与思考

1.锐角三角函数定义: tanA= sinA= A的对边 A的邻边

B 斜边 ∠A的对边 A ∠A的邻边 ┌ C

A的对边 斜边

cosA=

A的邻边 斜边

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回顾与思考 1.结论:梯子的倾斜程度与tanA 、sinA和cosA有关: tanA越___,梯子越陡.sinA越___,梯子越陡; cosA越____,梯子越陡. 2.在∠A+∠B=90°时，_________

sin A cos B

cos A sin B

tan A tan B 1

3、锐角正切，正弦，余弦的取值范围 tanA>0 0<sinA<1 1>cosA>0 4.同角之间的三角函数关系: sin2A+cos2A=1.

si nA tan A . cos A

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回顾与思考

特殊角的三角函数值表 三角函数 正弦 sinα 锐角α 300 450 600 余弦 cosα 正切 tanα

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1.若 A为锐角， sin A和cos A随 A如何变化？

sin A随 A的增大而增大 cos A随 A的增大而减小2.坡面与水平面的夹角(α)称为坡角,坡面的铅直高度 与水平宽度的比称为坡度i(或坡比),即坡度等于坡角 的正切.

铅直高度 i tan 水平宽度3.朝上看时，视线与水平面夹角为仰角 朝下看时，视线与水平面夹角为俯角

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1.如图,已知Rt△ABC中，斜边BC上的高 AD=4,cosB= 4 ,则AC=_______.5

【解析】因为∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高，所以∠B=∠CAD;

因为cosB= ,所以在Rt△ADC中，cos∠CAD= 又因为AD=4,所以AC=5. 答案：5AD =cosB= 4 , AC 5

4 5

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2.如图：把一张给定大小的长方形卡片ABCD放在宽为10 mm的 横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知∠α =32°,求

长方形卡片的周长.(参考数据：sin32°≈0.5,cos32°≈0.8,tan32°≈0.6)

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【解析】作AF⊥l4,交l2于E,交l4于F, 则△ABE和△AFD均为直角三角形, 在Rt△ABE中，∠ABE=∠α=32°, sin ABE AE , ∴ AB 20 20 40.sin32 0.5 AB

∵∠FAD=90°-∠BAE,∠α=90°-∠BAE, ∴∠FAD=∠α=32°. 在Rt△AFD中，cos FAD AF ,AD AF 40 50. cos32 0.8 AD

∴长方形卡片ABCD的周长为(40+50)×2=180(mm).

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特殊角的三角函数值 【例2】计算：

1

2 011

1 5 ( ) 3 (cos68 )0 3 3 8sin60 . 2

【思路点拨】

【自主解答】原式 1 8 1 | 3 3 8 3 | 8 3.2

1 - 2 tan60 tan60 tan60

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3.将一副三角尺如图所示叠放 在一起，若AB=14 cm,则阴影

部分的面积是______cm2.【解析】在Rt△ABC中，AC=ABsin30°=14× 1 =7(cm).2

因为∠ACB=∠AED=90°,所以CB∥ED,所以∠AFC=∠ADE=45°,所以CF=AC=7 cm,1 S阴= ×7×7= 49 (cm2). 2 2

答案：492

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1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,若将各边长度都扩大为原来的 2倍，则∠A的正弦值( (A)扩大2倍 (C)扩大4倍 ) (B)缩小2倍 (D)不变

【解析】选D. 各边长度都扩大为原来的2倍，∠A的大小不变， 则∠A的正弦值不变.

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4.已知在△ABC中，

∠C=90°,设sinB=n,

当∠B是最小的内角时， n的取值范围是(2 2 3 C 0<n< 3

)

A 0<n<

B 0<n< D 0<n<

1 2 3 2

【解析】选A.由题意知，∠B的最大值趋近于45°,sin45°=2 根据正弦函数值随角度的增大而增大得知sinB< 2 . . 2 2

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5.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC中，AC⊥AB,AD=CD,

cos∠DCA= 4 , BC=10,则AB的值是(5

)

(A)9

(B)8

(C)6

(D)3

【解析】选C.∵AD∥BC,∴∠DAC=∠BCA. ∵AD=CD, ∴∠DCA=∠DAC,∴∠BCA=∠DCA, ∴cos∠BCA=cos∠DCA= 4 ,∵BC=10,∴AC=8,5

∴AB=6.

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10.如图,在Rt△ABC中，BC、AC、AB三边的长分别为a、b、c, 则a b a sinA ,cosA , tanA . c c b

我们不难发现：sin260°+cos260°=1. 试探求sinA、cosA、tanA之间存在的一 般关系，并说明理由.

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【解析】存在的一般关系有： (1)sin2A+cos2A=1; ∵ sinA a ,cosA b ,a 2 b 2 c 2 ,c c a 2 b2 a 2 b2 c2 2 2 ∴ sin A cos A 2 2 2 1. 2 c c c c sinA . (2)tanA= cosA ∵ sinA a ,cosA b , c c a ∴ tanA a c sinA . b b cosA c