第8章格林函数法

格林函数法

Green函数(点源响应函数):一个点源在一定 的边界and/or初始条件下所产生的场 泊松方程的Green 函数 Green公式 具有连续一阶导数，而在T 中具有连续二阶导数。 应用矢量分析高 斯定理

设u(r ) 和 v(r ) 在区域T及其边界 上

u v dS (u v )dV T 2

u vdV u vdVT T2

同理有

v u dS (v u)dV T 2

v udV v udVT T

两式相减

2 2 (u v v u) dS (u v v u)dV T

——第一Green公式

即：

v u 2 2 (u n v n )dS (u v v u)dV T——第二Green公式3

u f ( r ), r T (12.1.4) u n u ( M ), (12.1.5) 2

Poisson 方程： 考虑非齐次边值问题

n r' T r

O

0, 0, 0, 0, 0, 0,

第一边值问题或狄里希利问题 第二边值问题或诺依曼问题 第三边值问题4

研究点源所产生的场 v(r , r0 ): 位于 r0 单位强 度正点源在 r 产生的场，满足：2

v(r , r0 ) (r r0 ), (12.1.6)在T中积分：

v(r , r0 ) (12.1.4) u(r) (12.1.6) :

(v u u v )dV 2 2 T

vfdV u (r r0 )dVT T5

将左边化为面积分：

T K

(v u u v )dV 2 2

u v u v (v n u n )dS (v n u n )dS 形式上令!!

u v 2 2 (v n u n )dS (v u u v)dV (*) K 6

移到左边，得

u ( r0 ) v ( r , r0 ) f ( r )dV v ( r , r0 ) u( r ) v ( r , r0 ) u( r ) dS n n z r0K

T

——泊松方程的基本积分公式

T

x

y

注意：在具体计算包含

v(r , r0 )2

的奇点于内的积分时，奇点附近的积分应以包围该奇 点的面积分(*)代替上式中v未知，又需要同时知道

u( r ) 及u( r ) n在边界处之值！ 尚不能用于解决边值问题！8

(1)第一类边界条件：

G(r , r0 ) u(r0 ) G(r , r0 ) f (r )dV (r ) dS n T (3)第三类边界条件：在边界上令

u | ( M ), 令：v | 0 v G(r , r0 )

(12.1.13)

v v 0 n

(12.1.14)

v G(r , r0 )9

以

G(r , r0 ) (12.1.5) u(r) (12.1.14) :

有：

u G Gu G , (1) n

G

Gu 0, (2) u n

(1)-(2) G u G u G n n 1 u( r0 ) G( r , r0 ) f ( r )dV G( r , r0 ) ( r )dST

(12.1.15) 10

(2)第二类边界条件：形式上令

G | 0 n u( r0 ) G ( r , r0 ) f ( r )dV G ( r , r0 ) ( r )dST

但解不存在。物理上，Laplace 方程表示稳定 的温度场分布，区域中有点源的存在，而又要求边界 是绝热的，这样的温度场是不可能稳定的。11

广义 Green 函数 对第二类 边值问题定义广义 Green 函数： 三维

其中 V 是区域的体积。

1 2 G ( r , r0 ) , V G 0 n

r V

(Follows is from H.W. Wyld, Mathematical methods for physics, p.274) ( r ' ) b) Given on S, ……. n'

二类边值的另种处理方法， 请加入，——2003.5.28

二维

1 2 G ( r , r0 ) , A G 0 n 其中 A 是区域的面积。

r A

物理上，要求热源的分布：源和汇抵消，这样 才能在边界绝热的情况下，温度稳定地分布。 (12.1.13)及 (12.1.15) 理解上的困难！

Green 函数的对称性质：

G(r , r0 ) G(r0 , r )证明：Green 公式

u v (u v v u)dV u n v n dS T 2 215

取 u G( r , r ), 12

v G(r , r2 ) 分别满足

G(r , r1 ) (2) G(r , r2 ) (1), 在T上积分16

G( r , r1 ) ( r , r1 ) G G 0 (1) n 2 G( r , r2 ) ( r , r2 ) G G 0 (2) n