欧拉积分及其应用

欧拉积分及其简单应用

姓名：王清国 学号：200740510640 指导教师：刘静

摘要：本文首先介绍欧拉积分及其性质，再应用这些性质巧妙地解决定积分计算问题，并为一些特殊积分提供一种有效办法。

关键词：欧拉积分；В函数；Г函数；

引言：我们知道无穷级数是构造新函数的一种重要工具，利用它我们可以构造出处处连续而处处不可微的函数，还可以构造出能填满正方形的连续曲线（参见常庚哲、史济怀著《数学分析教程》第三册第17章§17.8） 含参量积分是构造新函数的另一重要工具，欧拉积分就是在应用中经常出现的含参量积分表示的函数。它虽身为含参量积分的一种特例，被教科书编用于加深对含参量积分所表示的函数的分析方法的理解。但本身也是许多积分的抽象概括，能为相关积分的计算带来方便。

欧拉积分包括：

格马（Gamma）函数：Γ(s)= xs 1e xdx, s>0.-----------（1）

0

贝塔（Beta）函数：B(p，q)= xp 1(1 x)q 1dx， p>0, q>0-------------（2）

1

下面我们分别讨论这两个函数的性质：

一、B函数…………………Euler第一积分

1、定义域： B(p，q)= x

01

p 1

1

20

(1 x)

q 1

dx= xp 1(1 x)q 1dx+1xp 1(1 x)q 1dx= I1 + I2

2

1

对

I1 = xp 1(1 x)q 1dx 当x→0时. I1 = x

1

120

p 1

120

dx=

120

1x1 p

dx其收敛须p>0

对I2=1xp 1(1 x)q 1dx

2

. 当x→1时 ， I2=1(1 x)q 1dx,令.1-x=t

2

1

= t

2、连续性

120

q 1

dx=

120

1t

1 q

dx其收敛须.q>0.

B(p，q) 定义域为p>0,q>0.

因为对 p。>0，q。>0有xp 1(1 x)q 1≤xp0 1(1 x)q0 1p≥p。,q≥q。而

x

1

p0 1

故由魏尔斯特拉斯M判别法知B(p，q)在p。≤p<+∞,q。(1 x)q0 1dx收敛，

≤q<+∞，上一致收敛，因而推得B(p，q)在p>0,q>0内连续。

3、对称性B(p，q)=B(p，q) 作变换 x=1-y, 得

B(p，q)= xp 1(1 x)q 1dx= (1 y)p 1yq 1dy= B(q，p)

1

1

4、递推公式 B(p，q)=

q 1

B(p，q-1)(p>0,q>1)……………(1)

p q 1

p 1

B(p-1 ，q)(p>1,q>0)……..(2)

p q 1

(p 1)(q 1)

B(p-1，q-1)(p>1,q>1)…………(3)

(p q 1)(p q 2)

B(p，q)=

B(p，q)=

B(p ，q)=B(p+1，q)+ B(p，q+1)(p>-1,q>-1)…….(4) 下面只证明(1)；(2)可由对称性及公式(1)推出；(3 )、(4)可由公式(1).、(2.推得；

当P>0,q>1时，有B(p，q)= xp 1(1 x)q 1dx=

01

11q 1p

(1 x)dx 0p

xp(1 x)q 11q 1=|0+

pp

x

1

p

(1 x)q 2dx

=

q 11p 1p 1q 2

[x x(1 x)](1 x)dx 0p

q 11p 1q 11p 1q 2

x(1 x)dx x(1 x)q 1dx = p0p0

=

q 1q 1 B(p，q 1) B(p，q) pp

移项并整理得(1)

5、B(p，q)的其他形式

a,令x=cos2t

则B(p，q)=2 2sin2q 1tcos2p 1tdt

特别的当p=q=b.令x=

111

, B(p，q) =B(，)= 222

1

当 x:0→1 有 t :+∞→0 1 t

0

1 tq 1tp 1tp 1tp 1

dt= dt= dt+ dt p qp qp qp q001(1 t)(1 t)(1 t)(1 t)

B(p，q)= 考察 则有 =

1tq 1

,令t=, dt

y(1 t)p q

1

tp 1

dt p q

(1 t)

1

1tq 1tq 1

dt= dt. p qp q0(1 t)(1 t)

tp 1 tq 1

∴B(p，q) = dt

0(1 t)p q

1

二、Γ函数………………Euler第二积分

1、定义域

Γ(s)= xs 1e xdx= xs 1e xdx+ xs 1e xdx= I1 + I2

1

1

其中

I1 = xs 1e xdx,当s≥1时是正常积分；

1

当0<s<1时是收敛的无界函数反常积分（可用柯西判别法推得）

； I2= xs 1e xdx,当s>0时是收敛的无穷限反常积分（也可用柯西判别法推得）

1

所以，Γ函数在s>0时收敛，即定义域为s>0.

2、连续性

在任何闭区间[a，b](a>0)上，

对I1 ，当0<x≤1时有xs 1e x≤xa 1e x

由于 xa 1e xdx收敛，从而I1 在[a，b]上一致收敛;

01

对于 I2，当1≤x<+∞时，有xe≤x

s 1 xb 1 x

e,由于 xs 1e xdx收敛，

1

从而 I2在[a，b]上也一致收敛，于是Γ(s)在s>0上连续

3、可微性

s 1 xs 1 x(xe)dx= xelnxdx= (xs 1lnx)e xdx（利用狄利克雷判别法）它 0 s00

在任何闭区间[a，b](a>0)上一致收敛. ∴Γ(s)在[a，b]上可导.

由a，b的任意性，Γ(s)在s>0上可导，且 Γ’(s)= xs 1e xlnxdx s>0.

0

依照上面的方法，还可推得Γ(s) 在s>0上存在任意阶导数：

(n)(s)= xs 1e x(lnx)ndx.s>0.

0

4、递推公式 Γ(s+1)=sΓ(s) 证：分部积分法

A

A

+s xs 1e xdx= Ase A+s xs 1e xdx xse xdx= xse x|0

AA

设A→+∞，就得到Γ(s)的递推公式：

Γ(s+1)=sΓ(s)

设n<s≤n+1，即0<s n≤1，应用递推公式n次可得到Γ(s+1)=sΓ(s)=s(s-1)Γ(s-1)=………….=s(s-1)(s-2)……(s-n)Γ(s-n) 因Γ（1）= e xdx=1

0

若s为正整数n+1，则Γ(n+2)=(n+1)n……..2Γ(1)=(n+1)！ 从上可以看出：

（1）. Γ函数是阶乘的推广（x）！ （2）．如果已知Γ（s）在0<s≤1上的值，那么在其他范围内的函数值可由它计算出来，即可做出一个Γ函数值表

5. Γ函数图像的讨论 a.Γ(s)= xedx与Γ(s)’’= xs 1e x(lnx)2dx，对一切s>0其值为正，

s 1 x

因此Γ(s)的图形位于x轴上方，且下凸。

b.,因为Γ(1)=Γ(2)=1，所以Γ(s)在s>0上存在唯一的极小值点x。，且x。∈(1，2)，Γ(s)在(0，x。)内严格减，在(x。，+∞)内严格增。 c，由于Γ(s)=

s (s) (s 1)

(s>0)及limΓ(s+1)=Γ(1)=1 sss 0

(s 1)

=+∞， s

∴limΓ(s)=lim

s 0

s 0

由Γ(n+1)=n!及Γ(s)在(x。，+∞)上严格增可推得: limΓ(s)=+∞

s

综上所述，Γ函数略图为：

6、延拓Γ(s)

(s 1)

，左侧s>0，右侧s>-1，利用上s

式可以定义Γ(s)在（-1，0）上的值，Γ(s)就延拓到了(-1,0) (0,+∞)上， 继续上面的方法：Γ(s)可以延拓到(-2,-1) (-1,0) (0,+∞)，

依次下去可把Γ(s)延拓到整个数轴（除s=0,-1,-2,-3,………以外）

由Γ(s+1)=sΓ(s) Γ(s)=

又因limΓ(s)=lim

s 0

s 0

(s 1) (s 1)

=+∞……∴lim Γ(s)=lim= ∞

sss 0s 0

lim< …… 此处隐藏：9236字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……