高一数学人教A版必修1课后强化作业：3.2.1《几类不同增长的函数

高一数学人教A版必修1课后强化作业

第三章 3.2 3.2.1

一、选择题

1．下列函数中，增长速度最慢的是( ) A．y＝6x C．y＝x6 [答案] B

2．下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是( ) A．y＝50(x∈Z) C．y＝0.4·2x1

－

B．y＝log6x D．y＝6x

B．y＝1 000x 1

D．y·ex

100 000

[答案] D

[解析] 指数函数增长速度最快，且e>2，因而ex增长最快．

3．(2013～2014长沙高一检测)如图，能使不等式log2x＜x2＜2x成立的自变量x的取值范围是(

)

A．x＞0 C．x＜2 [答案] D

4．以下四种说法中，正确的是( )

A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快 B．对任意的x＞0，xn＞logax C．对任意的x＞0，ax＞logax

D．不一定存在x0，当x＞x0时，总有ax＞xn＞logax [答案] D

[解析] 对于A，幂函数与一次函数的增长速度受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长幅度不能比较；对于B，C，当0＜a＜1时，显然不成立．当a＞1，n＞0时，一定存在x0，使得当x＞x0时，总有ax＞xn＞logax，但若去掉限制条件“a＞1，n＞0”，则结论不成立．

5．三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如下表：

B．x＞2 D．0＜x＜2

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则关于xA．y1，y2，y3 C．y3，y2，y1 [答案] C

[解析] 通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知，对数函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律；指数函数的增长速度越来越快，y2随x的变化符合此规律；幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间，y1随x的变化符合此规律，故选C.

6．四个人赛跑，假设他们跑过的路程fi(x)(i∈{1,2,3,4})和时间x(x＞1)的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是( )

A．f1(x)＝x2 C．f3(x)＝log2x [答案] D

[解析] 显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f4(x)＝2x，故选D.

二、填空题

7．现测得(x，y)的两组对应值分别为(1,2)，(2,5)，现有两个待选模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则应选用________作为函数模型．

[答案] 甲

8．某食品加工厂生产总值的月平均增长率为p，则年平均增长率为________． [答案] (1＋p)12－1

9．在某种金属材料的耐高温实验中，温度y(℃)随着时间t(分)变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示：现给出下列说法________

B．f2(

x)＝4x D．f4(x)＝2x B．y2，y1，y3 D．y1，y3，y2

①前5分钟温度增加越来越快； ②前5分钟温度增加越来越慢； ③5分钟后温度保持匀速增加； ④5分钟后温度保持不变．

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[答案] ②③

[解析] 前5分钟，温度y随x增加而增加，增长速度越来越慢；

5分钟后，温度y随x的变化曲线是直线，即温度匀速增加．故说法②③正确． 三、解答题

10．(2013～2014沈阳高一检测)某种新栽树木5年成材，在此期间年生长率为20%，以后每年生长率为x%(x＜20)．树木成材后，既可以砍伐重新再栽，也可以继续让其生长，哪种方案更好？

[解析] 只需考虑10年的情形．设新树苗的木材量为Q，则连续生长10年后木材量为：Q(1＋20%)5(1＋x%)5,5年后再重栽的木才量为2Q(1＋20%)5，画出函数y＝(1＋x%)5与y＝2的图象，用二分法可求得方程(1＋x%)5＝2的近似根x＝14.87，故当x＜14.87时就考虑重栽，否则让它继续生长．

11．有甲、乙两个水桶，开始时水桶甲中有a升水，水桶乙中无水，水通过水桶甲的底部小孔流入水桶乙中，t分钟后剩余的水符合指数衰减曲线y＝aea甲和水桶乙的水相等，求再过多长时间水桶甲中的水只有.

8

[解析] 由题意得，ae得ae

－n(t＋5)

－5n

－nt

，假设过5分钟时水桶

＝a－ae

－5n

，即e

－5n

1at分钟水桶甲中的水只有28

a

＝， 8

t＋5－n(t＋5)1131t＋5－

所以()＝(e5n)＝e，

25582∴

t＋5

＝3， 5

∴t＝10.

a

∴再过108

12．某地区今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为52，54,58.为了预测以后各月的患 病人数，甲选择了模型y＝ax2＋bx＋c，乙选择了模型y＝p·qx＋r，其中y为患病人数，x为月份数，a，b，c，p，q，r都是常数．结果4月，5月，6月份的患病人数分别为66,82,115，你认为谁选择的模型较好？

[解析] 依题意： a·1＋b·1＋c＝52， 2

2＋b·2＋c＝54， 得 a· 32＋b·3＋c＝58， a·

2

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a＋b＋c＝52，

即 4a＋2b＋c＝54， 9a＋3b＋c＝58，

a＝1，

解得 b＝－1，

c＝52.

∴甲：y1＝x2－x＋52， p·q1＋r＝52又 ① p·q2

＋r＝54 ②

p·

q3＋r＝58 ③

①－②，得p·q2－p·q1＝2 ②－③，得p·q3－p·q2＝4 ⑤÷④，得q＝2，

将q＝2代入④式，得p＝1， 将q＝2，p＝1代入①式，得r＝50， ∴乙：y2＝2x＋50，

计算当x＝4时，y1＝64，y2＝66； 当x＝5时，y1＝72，y2＝82； 当x＝6时，y1＝82，y2＝114. 可见，乙选择的模型较好．

④⑤