几种常见圆锥曲线题型小结

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- 1 - / 8 几种常见圆锥曲线题型小结

圆锥曲线的常见题型包括：1.圆锥曲线的弦长求法、2.与圆锥曲线有关的最值(极值)问题、3.与圆锥曲线有关的证明问题4.圆锥曲线与圆锥曲线有关的证明问题等，5.直线与圆锥曲线位置关系等。下面分别作简单介绍。．

一、重、难、疑点分析

1．重点：圆锥曲线的弦长求法、与圆锥曲线有关的最值(极值)问题、与圆锥曲线有关的证明问题，利用坐标法研究直线与圆锥曲线的有关的问题.

2．难点：双圆锥曲线的相交问题 (应当提醒注意的是:除了要用一元二次方程的判别式，还要结合图形分析．)，运用解析几何的思想方法解决几何问题.

3．疑点：与圆锥曲线有关的证明问题．(解决办法：因为这类问题涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法，以及定点、定值问题的判断方法，所以比较灵活，只能通过一些例题予以示范．)

二．教学目标

1. 理解直线与圆锥曲线的位置关系，能利用对方程组的解的讨论来研究直线与圆锥曲线的位置关系，进而研究直线与圆锥曲线的有关问题；

2.在探究过程中,帮助学生体会运用数形结合思想，方程的思想、转化思想以及运动变化的观点，分析和解决问题，提高学生的数学思维能力；

3.让学生体会解析几何的思想方法——用代数方法解决几何问题，并强调理解代数关系的几何意义，有助于学生认识数学内容之间的内在联系，逐步形成正确的数学观．

三．简单复习

1.研究直线与圆锥曲线的位置关系可通过代数方法即解方程组的办法来分析，因为方程组解的个数与直线与圆锥曲线的公共点的个数是一样的．

２.直线与圆锥曲线相交的弦长公式

设直线l :y=kx+b ，圆锥曲线：F(x,y)=0，它们的交点为A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，

则|AB|=221221)()(y y x x -+-=2212))(1(x x k -+212)1(x x k -+=

2122124)()1(x x x x k -++=．

四、题型展示

1．圆锥曲线的弦长求法

设圆锥曲线C ∶f(x ，y)=0与直线l ∶y=kx+b 相交于A(11,y x )、B(22,y x )两点，则弦长|AB|为：

(2)若弦AB 过圆锥曲线的焦点F ，则可用焦半径求弦长，|AB|=|AF|+|BF|．

例1 过抛物线24

1x y -=的焦点作倾斜角为α的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，旦|AB|=8，求倾斜角α．

分析一：由弦长公式易解．解答为：

∵ 抛物线方程为x2=-4y ，∴焦点为(0，-1)．

设直线l 的方程为y-(-1)=k(x-0)，即y=kx-1．

将此式代入x2=-4y 中得：x2+4kx-4=0．∴x1+x 2=-4，x1+x2=-4k ．

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- 2 - / 8 由|AB|=8得:()()41441822-??--?

+=k k ∴1±=k 又有1tan ±=α得:4π

α=或4

3πα=. 分析二:利用焦半径关系.∵2,221p y BF p y AF +-=+

-= ∴|AB|=-(1y +y 2)+p=-[(kx 1-1)+(kx 2-1)]+p=-k(1x +x 2)+2+p ．由上述解法易求得结果，可由同学们自己试试完成．

2．与圆锥曲线有关的最值(极值)的问题

在解析几何中求最值，关键是建立所求量关于自变量的函数关系，再利用代数方法求出相应的最值．注意点是要考虑曲线上点坐标(x ，y)的取值范围．

例2已知2x +4(y-1)2=4，求：(1)2x +y 2的最大值与最小值;(2)x+y 的最大值与最小值．

解一：将2x +4(y-1)2=4代入得：2x +y 2=4-4(y-1)2+y 2=-3y 2+8y

由点(x ，y)满足2

x +4(y-1)2=4知：4(y-1)2≤4 即|y-1|≤1．∴0≤y ≤2．

当y=0时，(2x +y 2)min=0．

解二：分析：显然采用(1)中方法行不通．如果令u=x+y ，则将此代入2

x +4(y-1)2=4中得关于y 的一元二次方程，借助于判别式可求得最值．

令x+y=u ，则有x=u-y,代入2x +4(y-1)2=4得：52y -(2u+8)y+2

u =0．

又∵0≤y ≤2，(由(1)可知)∴[-(2u+8)]2-4×5×2u ≥0．

∴5151+≤≤-u 当51+=u 时,[]2,0551∈+=y ; 当51-=u 时,[]2,05

51∈+=y ∴()51max +=+y x ;()51min -=+y x

3．与圆锥曲线有关的证明问题

它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法，以及定点、定值问题的判断方法． 例3.在抛物线x2＝4y 上有两点A(x 1，y1)和B(x2，y2)且满足|AB|=y 1+y2+2，求证：

(1)A 、B 和这抛物线的焦点三点共线；(2)BF

AF 11+为定值. 证明：(1)∵抛物线的焦点为F(0，1)，准线方程为y=-1．

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- 3 - / 8 ∴ A、B 到准线的距离分别d1＝y1+1，d2=y 2+1(如图2－46所示)．

由抛物线的定义：|AF|=d1=y 1+1，|BF|=d2=y 2+1．

∴|AF|+|BF|=y1+y 2+2=|AB|即A 、B 、F 三点共线．

(2)如图2－46，设∠AFK=θ．

∵|AF|=|A A1|=|AK|+2=|AF|sin θ+2∴θsin 12-=

AF 又|BF|=|BB1|=2-|BF|sin θ∴θ

sin 12+=BF

小结:与圆锥曲线有关的证明问题解决的关键是要灵活运用圆锥曲线的定义和几何性质.

4．圆锥曲线与圆锥曲线的相交问题

直线与圆锥曲线相交问题，一般可用两个方程联立后，用△≥0来处理．但用△≥0来判断双圆锥曲线相交问题是不可靠的．解决这类问题：方法1，由“△≥0”与直观图形相结合；方法2，由“△≥0”与根与系数关系相结合；方法3，转换参数法(以后再讲)．

例4 已知曲线()12:221=-+a y x C 及1:22+=x y C 有公共点,求实数a 的取值范围．

可得：2y =2(1-a)y+2a -4=0．

∵ △=4(1-a)2-4(a 2-4)≥0， ∴2

5≤

a . 如图2－47，可知：

椭圆中心()a ,0,半轴长2=

'a ,抛物线顶点为()1,0,所以当圆锥曲线在下方相切或相交

时,21-≥a .

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- 4 - / 8 综上所述,当2

521≤≤-a 时, 曲线1C 与2C 相交. 5．利用共线向量解决圆锥曲线中的参数范围问题

例5.已知椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的长、短轴端点分别为A 、B ，从此椭圆上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点1F ，向量与OM 是共线向量。（1）求椭圆的离心率e ；（2）设Q 是椭圆上任意一点，1F 、2F 分别是左、右焦点，求∠21QF F 的取值范围；

解：（1）∵a b y c x c F M M 21,),0,(=-=-则，∴ac

b k OM 2-=。 ∵OM a b k AB 与,-=是共线向量，∴a

b a

c b -=-2，∴b=c,故22=e 。 （2）设1

122121212,,,2,2,FQ r F Q r F QF r r a F F c θ==∠=∴+== 2222222

1212122121212124()24cos 11022()2

r r c r r r r c a a r r r r r r r r θ+-+--===-≥-=+ 当且仅当21r r =时，cos θ=0，∴θ]2,0[π

∈。

由于共线向量与解析几何中平行线、三点共线等具有异曲同工的作用，因此，解析几何中与平行线、三点共线等相关的问题均可在向量共线的新情景下设计问题。求解此类问题的关键是：正确理解向量共线与解析几何中平行、三点共线等的关系，把有关向量的问题转化为解析几何问题.

6. 利用向量的数量积解决圆锥曲线中的参数范围问题

例6.椭圆14

92

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