3.1 时间序列平稳性和单位根检验

第3章

现代时间序列计量经济学模型

本章说明 关于经典的平稳时间序列分析模型，即自回归模 型(AR)、移动平均模型(MA)、自回归移动 平均模型(ARMA)等，在一般的中级计量经济 学教科书或者经典的时间序列分析教科书中，都 有详细的介绍，本章将不予涉及。 本章所讨论的，主要是非平稳时间序列。重点是 单位根检验、协整检验和误差修正模型。

向量自回归模型(VAR)已经成为一类广泛应用 的现代时间序列分析模型，本章将进行简单的介 绍。

§3.1 时间序列平稳性和单位根检验一、时间序列的平稳性 二、单整序列

三、单位根检验四、趋势平稳与差分平稳随机过程

五、结构变化时间序列的单位根检验

一、时间序列的平稳性 Stationary Time Series

⒈问题的提出 经典计量经济模型常用到的数据有：– 时间序列数据(time-series data); – 截面数据(cross-sectional data)

– 平行/面板数据(panel data/time-series cross-section data)

时间序列数据是最常见，也是最常用到的数据。 经典回归分析暗含着一个重要假设：数据是平稳的。

数据非平稳，大样本下的统计推断基础——“一致 性”要求——被破怀。 数据非平稳，往往导致出现“虚假回归” (Spurious Regression)问题。–表现为两个本来没有任何因果关系的变量，却有很高的 相关性。

–例如：如果有两列时间序列数据表现出一致的变化趋势 (非平稳的),即使它们没有任何有意义的关系，但进 行回归也可表现出较高的可决系数。

2、平稳性的定义 假定某个时间序列是由某一随机过程 (stochastic process)生成的，即假定时间 序列{Xt}(t=1, 2, …)的每一个数值都是从一 个概率分布中随机得到，如果满足下列条件：– 均值E(Xt)= 是与时间t 无关的常数； – 方差Var(Xt)= 2是与时间t 无关的常数； – 协方差Cov(Xt,Xt+k)= k 是只与时期间隔k有关，与 时间t 无关的常数；

则称该随机时间序列是平稳的(stationary), 而该随机过程是一平稳随机过程(stationary stochastic process)。宽平稳、广义平稳

白噪声(white noise)过程是平稳的： Xt= t , t~N(0, 2)

随机游走(random walk)过程是非平稳的： Xt=Xt-1+ t , t~N(0, 2) Var(Xt)=t 2 随机游走的一阶差分(first difference)是平 稳的： Xt=Xt-Xt-1= t , t~N(0, 2) 如果一个时间序列是非平稳的，它常常可通过 取差分的方法而形成平稳序列。

二、单整序列 Integrated Series

如果一个时间序列经过一次差分变成平稳的， 就称原序列是一阶单整(integrated of 1)序 列，记为I(1)。 一般地，如果一个时间序列经过d次

差分后变 成平稳序列，则称原序列是d 阶单整 (integrated of d)序列，记为I(d)。 I(0)代表一平稳时间序列。

现实经济生活中只有少数经济指标的时间序列 表现为平稳的，如利率等; 大多数指标的时间序列是非平稳的，例如，以 当年价表示的消费额、收入等常是2阶单整的， 以不变价格表示的消费额、收入等常表现为1 阶单整。 大多数非平稳的时间序列一般可通过一次或多 次差分的形式变为平稳的。 但也有一些时间序列，无论经过多少次差分， 都不能变为平稳的。这种序列被称为非单整的 (non-integrated)。

三、平稳性的单位根检验

(unit root test)

1、DF检验(Dicky-Fuller Test)

X t X t 1 t

随机游走，非平稳 对该式回归，如果确实 发现ρ =1,则称随机变 量Xt有一个单位根。 等价于通过该式判断 是否存在δ =0。

X t X t 1 t X t ( 1) X t 1 t X t 1 t

通过上式判断Xt是否有单位根,就是时间序列平稳 性的单位根检验。

一般检验模型

X t X t 1 t X t X t 1 t零假设 H0: =0 备择假设 H1: <0

可通过OLS法下的t检验完成。但是:– 在零假设(序列非平稳)下，即使在大样本下t统计量 也是有偏误的(向下偏倚),通常的t 检验无法使用。 – Dicky和Fuller于1976年提出了这一情形下t统计量服 从的分布(这时的t统计量称为 统计量),即DF分布。 – 由于t统计量的向下偏倚性，它呈现围绕小于零均值的 偏态分布。

样 本 容 量 显著性水平 0.01 0.05 0.10 25 -3.75 3.00 2.63 50 -3.58 -2.93 -2.60 100 -3.51 -2.89 -2.58 500 -3.44 -2.87 -2.57 ∝ -3.43 -2.86 -2.57 t分布临界值 (n=∝) -2.33 -1.65 -1.28

如果t<临界值，则拒绝零假设H0: =0,认为时 间序列不存在单位根，是平稳的。单尾检验