复合函数微分典型例题

复合函数微分典型例题

复合函数微分典型例题

z z,． x y

例１ 设 z=eusinv，而 u=xy,v=x+y，求

解法１

z z u z v=+ x u x v x

=eusinv y+eucosv 1=exy[ysin(x+y)+cos(x+y)]

z z u z v=+=eusinv y+eucosv 1=exy[ysin(x+y)+cos(x+y)] y u y v y

解法2 将 u=xy,v=x+y代入 z=eusinv得 z=exysin(x+y)，因此

z

=exycos(x+y) 1+sin(x+y) exy y=exy[ysin(x+y)+cos(x+y)], x

zxyxyxy

=ecos(x+y) 1+sin(x+y) e x=e[xsin(x+y)+cos(x+y)], y

例2 设 z=(x2+y2)xy，求

z z, x y

解法1 令 u=x2+y2,v=xy则 z=uv，于是

2

z z u z vv 1v22xy 2xy22 yln(xy) , =+=vu 2x+ulnu y=(x+y) 2++2 x u x v x x+y

2

z22xy 2xy22 同理可得=(x+y) 2++xln(xy) , 2 y+xy

解法2 对 z=(x2+y2)xy两边取自然对数，得 lnz=xyln(x2+y2)

上式两边分别关于 x和 y求偏导数，得

复合函数微分典型例题

1 z2x1 z2y2222

ln()ln() =xy 2+yx+y， =xy +xx+y222

z xx+yz yx+y

2

2x2y z22 22xy 2xy22 因此，=z 2++=+++ln()()ln() , yxyxyyxy 222

x x+y x+y

2

z22xy 2xy22 =(x+y) 2++ln() , xxy2 y x+y

例3 设 z=f(xy,x+y)+ (xsiny)，其中f, 连续可微，求

z z

, x y

解 记u=xy,v=x+y,w=xsiny, 则 z=f(u,v)+ (w)，由链式法则及导数运算法则，

zd =f1'(u,v) y+f2'(u,v)+ siny=f1'(xy,x+y) y+f2'(xy,x+y)+ '(xsiny) siny xdw

z

=f1'(xy,x+y) x+f2'(xy,x+y)+ '(xsiny) xcosy y

sint

，其中x,y均大于1，求 fx'和 fy' x+yt

xy

例4 设 f(x,y)=∫解 由于∫

sint

是“积不出”的，所以不能先积分然后求偏导。 t

1sintxysintsint

=∫+∫， 记 x+yxy+1tttxy

因f(x,y)=∫

g(u)=∫

u

1

sint

,u=xy,v=x+y t

x+y

xysintsint

+∫= g(v)+g(u)

1tt

故f(x,y)= ∫

1

fx'(x,y)=( g(v))'x+(g(u))'

复合函数微分典型例题

''

= gv(v) 1+gu(u) y=

sin(x+y)sin(xy)sin(x+y)sin(xy)

+y = +

x+yxyx+yx

同理，fy'(x,y)=

sin(xy)sin(x+y) yx+y

例5 设 z=f(x,y)二阶连续可微，且

dz=(x2 c)ydx+(ax3+x+bsinxy)dy，试确定常数 a,b,c

解：由微分计算公式知fx'=(x2 c)y,fy'=ax3+x+bsinxy，从而

""""

fxy=x2 c,fyx=3ax2+1+bycosxy，知 fxy,fyx，在 R2上连续，从而对任何 x,y，

1""有 fxy，即x2 c=3ax2+1+bycosxy，比较系数知 a=,b=0,c= 1 =fyx

3

2z

例6 设 z=f(xy,x+y),f二阶连续可微，求

x y

'

=f1'y+f2'，其中f1'=f1'(xy,x+y),f2'=f2'(xy,x+y)，注意：f1'和 f2'解：zx

仍上x,y的复合函数，求它们的偏导数时还要用链式法则求

''''''''''''2''''''

z"xy=(f1y+f2)y=f1+y(f11y+f12)+(f21y+f22)=f1+yf11+2yf12+f22

2z

例7 设 z=z(x,y)由方程 x+y+z=1所确定，求

x y

2

2

2

解：记 F(x,y,z)x2+y2+z2 1，则Fx'=2x,Fy'=2y,Fz'=2z，由隐函数导数

x'

= 公式得：zx

z

上式两端求关于y的偏导数，应注意z是x,y的函数，有

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z"xy=+

x'xyxy

z = = yz2z2zz3

x+y+u+v=1 2u

例8 设方程组 2，求 2，其中 u v≠0 222

x x+y+z+v=2

解：先求

u v

,，方程两边对x求偏导数，将u, v看作x, y的函数，有 x x

''''

1+ux+vx=0,x+u ux+vvx=0

'''

将 ux,vx，看作未知量，用克莱姆法则解得：ux=

x v'u x

,vx=，第一个式子v uv u

两边对x求偏导，注意u,v是x,y的函数，得：

'''

(1 vx)(v u) (x v)(vx)v 2u+x(x v)(u+v 2x) ux

u==

(v u)2(v u)2(v u)3''

xx

例9 设 u=f(x,y)∈c2，在平面极坐标系x=rcosθ,y=rsinθ下，证明：

2u 2u1 u 1 2u+= r +

x2 y2r u r r2 θ2

证明：由于

u u x u y u u

cosθ+sinθ， =+=

r x r y r x y

2u u u u

cosθ==+ sinθ 2

r r r r x r y

u x u y u x u y

= + cosθ+ + sinθ， x x r y x r x y r y y r 2u 2u 2u 2u

sinθ cosθ+ 2sinθ+cosθ sinθ = 2cosθ+

x y y x x y

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2u 2u 2u22

sinθcosθ+2sinθ， =2cosθ+2

x x y y

又

u u x u y u u=+= rsinθ+rcosθ， θ x θ y θ x y

2u

= θ2 θ

u =

θ θ u u

rsinθrcosθ++

x θ x

u u

rcosθrsinθ

y y

u x u y u

= rsinθ + rcosθ

xxθ y x θ x

u x u y u+rcosθ + rsinθ

xyθ y y θ y

2u u 2u

rcosθ rcosθ = rsinθ 2rsinθ+

x y x x

2u u 2u

rsinθ rsinθ +rcosθ 2rcosθ+

y x y y

2u22 2u2 2u2 u u

rsinθcosθ+2rcos2θ rcosθ rsinθ， =2rsinθ 2

x x y y x y

1 u 1 2u1 u 2u1 2u

于是得到：=+2+2 r +222

r x r r θr r rr θ

2u 2u 2u 2u2222

=2(cosθ+sinθ)+2(cosθ+sinθ)=2+2 x y x y

θ看作自变量，上面的计算过程是将x,y看作中间变量，r，自然也可以将r,θ看作中间变量， x，y看作自变量来计算

复合函数微分典型例题

例10 求由方程 sinz=xyz所确定的函数z=z(x,y)的偏导数

z z x y

解法1 令 F(x,y,z)=sinz xyz，则Fx'= yz,Fy'= xz,Fz'= xy, 故

Fy'Fx' z yz z xzyzxz

= '= == '= =,， xFzFzcosz xycosz xy ycosz xycosz xy解法2 对方程 sinz=xyz两边求关于x的偏导数，得cosz从而

z z

=xy+zy， x x

zyz

= xcosz xy

同理，对 sinz=xyz两边求关于y的偏导数，可得

xz z= ycosz xy

例11 设z=z(x,y)是由方程 x2+y2+z2= (x+y+z,x2+y2+z2)所确定，

'

其中 (u,v)∈C1，且 1'≠2z(1 2)，求

z z

x y

解 记 F(x,y,z)=x2+y2+z2 (x+y+z,x2+y2+z2)，则

'''

Fx'=2x ( 1'+2x 2),Fy'=2y ( 1'+2y 2),Fz'=2z ( 1'+2z 2)，

''

Fx'Fy2(x y)(1 2) z z

= '+'='

FzFz x y2z(1 2) 1'

其中f, ∈C1，且例12 设 u=f(x,y,z), (x2,ey,z)=0,y=sinx，求

≠0， z

du dx

u f(x,sinx,z)=0

解 由条件可得方程组 2sinx

(x,e,z)=0

复合函数微分典型例题

方程两边求关于x的偏导数，u,z看作x的函数， …… 此处隐藏：2072字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……