统计学第四版 06参数估计

第六章 参数估计

参数估计的一般问题一个总体参数的区间估计 两个总体参数的区间估计

第一节 参数估计的一般问题

估计量与估计值

抽样估计/参数估计：用样本统计量估计总体参数的特征值；估计量：用来估计总体参数的统计量的名称； 估计值：用来估计总体参数时计算出来的估计量的具体数值。

点估计与区间估计

点估计：用样本估计量的值直接作为总体参数的估计值； 区间估计：在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个范围。

置信区间

置信区间：在区间估计中，用样本统计量所构成的总体参数的估计区间；

置信下限：置信区间的最小值； 置信上限：置信区间的最大值。

评价估计量的标准

无偏性：样本统计量的均值等于被估计总体参数的真值， 即 E( )

有效性：作为优良的估计量，除了满足无偏性外，其方 差应比较小。

设 、 都是θ 参数的无偏估计量，若 1 2

D 1 D 2

,则称

是较 2 有效的估计量

1

一致性/相合性：指当n→∞时，估计量依概率收敛于总 体参数的真实值。

设 是θ 参数的估计量，对于任意的ε >0,当n→∞

limP 1 ,则称 是θ 的一致估计量。 时，

点估计的方法

点估计是直接以样本统计量作为相应总体参数的估计量。 因此我们希望样本统计量应尽可能满足优良估计量的标准。

经数学证明，样本平均数是总体平均数的优良估计量；样本成数是

总体成数的优良估计量；样本方差是总体方差的无偏估计量。

x 2

p P2

x x n 1

1

s

2

点估计完全正确的概率通常为0。因此，我们更多的是考虑用样本统计量去 估计总体参数的范围

区间估计

第二节 一个总体参数的区间估计

参数区间估计的含义：

估计总体参数的区间范围，并给出区间估计成立的概率 值。

p( 1 2 ) 1

其中： 1-α(0<α<1)称为置信度/置信水平，α称为区间估计 的显著性水平，其取值大小由实际问题确定，经常取1%、

5%和10%。

区间估计的内容：

1. 2. 3. 4. 5.

区间估计的计算步骤计算样本指标 计算抽样平均误差 查表得统计量临界值 计算抽样极限误差 计算置信区间

总体均值μ的区间估计 总体成数P的区间估计 总体方差σ 2的区间估计

总体均值区间估计的要素：

总体分布是否正态？ 总体方差是否已知？ 大样本还是小样本？

要素影响抽样分布总体分布 总体方差 样

本情况x

x

服从分布

置信区间

σ 正态总体 σ

2已知

大样本小样本

服从 N(0,1) 近似服从 N(0,1) 服从 t(n-1) 近似服从 N(0,1)

x Z 2

2

ns ns n

大样本2未知

x Z x t 2

小样本非正态总体 或 σ 2已知 分布未知

大样本

x Z 2

n

例1

某企业从长期实践得知，其产品直径x是一随机 变量，服从方差为0.05的正态分布。从某日产品 中随机抽取6个，测得其直径分别为14.8,15.3, 15.1,15,14.7,15.1(单位：厘米)。在0.95的 置信度下，试求该产品直径的均值的置信区间。

计算样本指标→计算抽样平均误差→查表得统计量→计算抽样极限误差→计算置信区间

解：正态总体、方差已知、小样本1.

计算样本指标

x

x 14.8 15.1 15n 6

2.

计算抽样平均误差 查表得统计量

x

n

0.05 6

0.02

3.

1 0.95

Z Z0.025 1.962

4.

计算抽样极限误差计算置信区间

x Z 2 x 1.96 0.02 0.04

5.

x x x x 15 0.04 15 0.04 14.96 15.04

例2

对某型号的电子元件进

行耐用性能检查，抽查资料分组如下表，要求 估计该批电子元件的平 均耐用时数的置信区间 (置信度95%)。1. 2. 3.

耐用时数 900 以下 900—950 950—1000 1000—1050 1050—1100 1100—1150 1150—1200 1200 以上 合计

组中值 875 925 975 1025 1075 1125 1175 1225 —

元件数 1 2 6 25 43 9 3 1 100

计算样本指标 计算抽样平均误差 查表得统计量 计算抽样极限误差 计算置信区间

4.5.

解：正态总体、方差未知、大样本1.

计算样本指标

Xf X 1055.5(小时) fS 2 ( X X ) f 52.17(小时) f 1

2.

计算抽样平均误差 查表得统计量

X

S

n

52.17 100

5.217(小时)

3.

1 0.95

Z Z0.025 1.962

4. 5.

计算抽样极限误差 Z 1.96 5.217 10.23 计算置信区间 x x x xx 2 x

1055.5 10.23 1055.5 10.23 1045.27 1065.73

例3

某商场从一批袋装食品中随机抽取10袋，测得每袋重量(单位：克)分别为：789、780、794、 762、802、813、770、785、810、806,要求以 95%的把握程度，估计这批食品的平均每袋重量 的区间范围。

计算样本指标→计算抽样平均误差→查表得统计量→ 计算抽样极限误差→计算置信区间

解：正态总体、方差未知、小样本1.

计算样本指标

x

x 789 806 791.1n 102

s

x x n 1

17.136

2.

计算抽样平均误差

x

5 n

17.136 10

5.419

3.

查表得统计量 1

0.95 计算抽样极限误差 计算置信区间

t (n 1) t 0.025 (9) 2.2622

4. 5.

x t 2 (n 1) x 2.2622 5.419 12.26

x x x x 791.1 12.26 791.1 12.26 778.84 803.36

总体成数的区间估计

由于总体的分布是(0,1)分布，只有在大样本的情况下， 样本成数才服从正态分布。总体成数可以看成是一种特殊 的平均数，类似于总体平均数的区间估计，总体成数的区

间估计的上下限是：P z P2

P

p 1 p n

注意：在实践中，由于总体成数常常未知，这时，抽样平均误差公式中的总体成数用样本成数代替。

大样本的条件：np≥5且n(1-p) ≥5

例:

某厂对一批产品的质量进行抽样检验，采用重 复抽样抽取样品200只，样本优质品率为85%,

试计算当把握程度为90%时优质品率的区间范围。

计算样本指标→计算抽样平均误差→查表得统计量→计算抽样极限误差→计算置信区间