勾股定理毕业论文

本科生研究勾股定理勾股定理

学科分类号（二级）110.17

本科学生毕业论文（设计）

题 目 包含任意整数的勾股数

姓 名 洪鹏鲲

学 号 094080350

院 、系 数学学院

专 业 数学与应用数学

指导教师

职称（学历） 副教授（硕士）

本科生研究勾股定理勾股定理

包含任意整数的勾股数

摘要：本文解决了求任意整数的勾股数，以勾股定理为出发点，利用初等数学知识，主要运用数学方法推理证明，利用计算机进行辅助求证.研究不定方程x2 y2 z2的一些性质，发现并证明了勾股数之间的一些规律.具体解决三个问题：一.已知数是直角边长时，求另两边长；二.已知数是斜边时，求两直角边长；

三.求任意整数的勾股数及组数.

关键词:勾股数；平方和；整数解

1.前言

勾股定理[1]是人类文明史上光彩夺目、永不消逝的明珠.是人类发现的第一个定理、第一个不定方程、证法第一多的定理.它引发了第一次数学危机，开始把数学由计算与测量的技术转变为论证与推理的科学.

我们知道，勾股定理的代数关系式a2 b2 c2，当已知直角三角形的任意两条边的长度时，根据这个关系式就可以很快而直接地求得这个直角三角形的第三条边的长度.而现在，假设已知直角三角形的一条边的长度且为整数，那么，另外两条边的长度都为整数的解能否求得？直观上看，答案可能有无数组解，因为一个方程中有两个未知数.但当我们求解时就会发现，答案并不是那样简单.虽然这里是一个不定方程两个未知数，但条件要求是整数解，这其实是特殊二元不定方程.本文就是以此为出发点，运用数学方法推理证明，最终就会发现：任意大于2的整数都可以作为整直角三角形的直角边长，而不一定能作为斜边长.给出一个数就可以求出包含它的所有勾股数.

2.基本定理及性质

2.1勾股定理

勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方[1].

若直角三角形两直角边分别记为a，b，斜边记为c，那么有a2 b2 c2.其中a，b中的短边称为勾，长边称为股，c边称为弦.

2.2勾股数

满足不定方程x2 y2 z2的正整数叫做勾股数（商高数），也叫毕达哥拉斯数[2].其中x，y中的较小数称为勾数，较大数称为股数，z称为弦数.

2.3整数集合

N表示非负整数的集合（自然数集）.

N 或N 表示正整数集合.

a N表示元素a属于集合N.

2.4整直角三角形

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各边长都为整数的直角三角形.

2.5完全平方公式及性质

完全平方公式1：(a b)2 a2 2ab b2.

2.6奇偶数平方的性质

奇数的平方是奇数：

m2 (2k 1)2 4k2 4k 1 2(2k2 2k) 1.

偶数的平方是偶数：

m2 (2k)2 4k2 2(2k2).

2.7素三元组

无公约数的商高数称为本原商高数（素三元组）[1].即若(a,b,c)是勾股数且有(a,b,c) 1（表示a,b,c的最大公约数是1，即a,b,c两两互质），则(a,b,c)是素三元组.

本原商高数a,b,c中的一条“直角边”（勾或股）的长度应当是偶数，而另一条长度必是奇数，即一奇一偶.

2.8勾股数的规律1

毕达哥拉斯三元组(a,b,c)有a2 b2 c2，则(ka,kb,kc)（其中k是任意正整数）也是一组勾股数[1].

证明并不难，只要带入验证即可.反过来，如果某三元组(a,b,c)有一个共同

abc的公约数p，那么用这个公约数p去除他们，又可得到一组勾股数(,,). ppp

2.9常见勾股数

3, 4, 5 : 勾三股四弦五[3].

5, 12, 13: 5·12记一生（13）.

6, 8, 10 ： 连续的偶数.

8，15，17 ： 八月十五在一起（17）.

2.10特殊的勾股数

连续的勾股数只有3, 4, 5[4].

连续的偶数勾股数只有6, 8, 10.

2.11奇妙的勾股数

如果a，b，c是一组勾股数，则a，b，c中必有一个是3的倍数[5].

如果a，b，c是一组勾股数，则a，b中必有一个是4的倍数.

2.12勾股数中的任意一个数都大于2

任意一组勾股数中的三个数互不相同，明显弦数一定大于2，那么只需考虑

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勾数就可以，即证明方程a2 y2 z2(a 1,2)无正整数解.

当a 1时，即1 y2 z2，此时有(z y)(z y) 1，因y，z都是正整数，且由题可知y z，所以有z y 1且z y 1，所以(z y)(z y) 1，所以1 y2 z2无正整数解.

当a 2时，即4 y2 z2，有(z y)(z y) 4，因z y 1且z y 2，所以4 y2 z2无正整数解.

因此，本文中提到的勾股数的任意数a，以及所求方程的解中的数，都是大于2的整数.

3.包含任意整数的勾股数

求解包含任意整数a的勾股数，从直观上考虑，可以分成两种情况：一、已知数作为直角边长时，求另一直角边长和斜边长；二、已知数作为斜边长时，求两直角边的长.

3.1知勾股求弦长

有一整直角三角形，若a作为一条直角边边长，求另外两条边的长度.即求解方程a2 y2 z2(a 2,a N)的正整数解(y,z).例如求解方程152 y2 z2的正整数解.

此问题可分步骤解决，先证明方程有解，再求出具体解.

3.1.1 方程a2 y2 z2有正整数解.

观察方程，可以变换方程为a2 z2 y2，联想到4xy (x y)2 (x y)2

则若a mn(m n)时（这是很明显成立的，至少有n 1,m a时成立）有

m2 n2

2m2 n2

2(mn) () (). 222

m2 n2m2 n2

即a mn，y ，z . 22

讨论：

m2 n2m2 n2

⑴ .若m,n同为奇数或同为偶数，则，都为整数，满足解的 22

条件.

例1.若a 15 5 3，m 5，n 3，

m2 n225 9 8， y 22

m2 n225 9 17. z 22

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满足152 82 172，即225 64 289.

例2.若a 24 6 4，m 6，n 4，

m2 n236 16 10， y 22

m2 n236 16 26. z 22

满足242 102 262即576 100 676.

m2 n2m2 n2

⑵.若m,n为一奇一偶，则，都为分母是2的分数且不能化22

为整数，例3.若a 10 5 2，m 5，n 2.

m2 n221y ， 22

m2 n229. z 22

虽然满足a2 y2 z2，但是这不是问题的解，这不是勾股数，此时a为偶数，则另有m，n使成立a 2mn(m n)（这是明显成立的，至少有n 1,m

(2mn)2 (m2 n2)2 (m2 n2)2 a）. 2

即

y m2 n2，

z m2 n2.

此时y，z就为正整数，满足方程也满足勾股数，是问题的解.

例4.若a 2 3 2，m 3，n 2，

y m2 n2 9 4 5，

z m2 n2 9 4 13.

满足52 122 132即25 144 169.

由以上讨论和分析可知方程a2 y2 z2(a 2,a N)的正整数解存在且有如下结论：

定理1.任意大于2的整数都可以作为勾股数中的勾或股（即存在任意大于2 的整数为直角边边长的整直角三角形）.

3.1.2 方程a2 y2 z2的解

由方程a2 y2 z2有整数解的证明过程，可以归纳总结出此方程的解.

m2 n2

2m2 n2

2a) ()中的m,n分别用k，替3.1.2.1.若a是奇数，将(mn) (22k2

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代，则有

a2a22k 2k 2)2 ()2 a2 (222

k4 a2

2k4 a2

2 =() (). 222k2k

则

a2 k41a2y [() k2)]， 22k2k

k4 a21a22z [() k)]. 22k2k