10-11 wjzh 11.4 函数展开成幂级数

第11章 无穷级数 16学时§11.1 常数项级数概念性质 §11.2 常数项级数审敛法(Ⅰ) §11.2 常数项审敛法(Ⅱ) §11.3 幂级数 §11.4 函数展为幂级数 §11.7 傅里叶级数 §11.8 一般周期函数的傅里叶级数 习题课5

§11.4 函数展开成幂级数1. 前面一节研究了幂级数的收敛域及其和函数的性质； 给一个幂级数，可求其在收敛域上的和函数s(x)。 2. 实际中会遇到相反的问题：给定一个函数f(x),要考虑它 在某个区间上能否“展开成幂级数”即找一个幂级数，它在 某区间内收敛且和函数恰好是给定的函数f(x)。

3. 如果能找到这样的幂级数，就称函数f(x)在该区间内能展开 成幂级数，而该级数为函数f(x)的幂级数展开式。下面要讨论的问题

1.在什么条件下所给函数能够展开成幂级数；2.怎样确定幂级数的系数。2

§11.4 函数展开成幂级数一、泰勒级数 二、函数展开成幂级数 重点: 目的: 函数展开成泰勒级数的充分必要条件 将函数间接展开成幂级数 1.了解函数展开成泰勒级数的充分必要条件。 2.会利用ex, sinx,cosx,ln(1+x),(1+x)α 的麦克劳林展开式将一些简单的函数 间接展开成幂级数。

一、泰勒级数1. 泰勒公式

若函数f(x)在x0的某邻域内具有n+1阶导数, 则在该邻域内有:f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) f(n)

f ( x0 ) 2!n

( x x0 )

2

( x0 )

n!

( x x0 )

Rn (x)

此式称为f(x)的n阶泰勒公式,Rn (x) f( n 1)

其中n 1

( )

( n 1) !

( x x0 )

( 在x与x0之间)

称为拉格朗日余项.4

2. 泰勒级数 若函数f(x)在x0的某邻域内具有任意阶导数, 则称 幂级数f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) f(n)

f ( x0 ) 2!n

( x x0 )

2

( x0 )

n!

( x x0 )

为函数f(x)的泰勒级数.问题提出：1)显然在 x x0 处泰勒级数收敛于 f ( x 0 ) 2)当 x x0 时这级数是否收敛？(收敛域问题) 若收敛，是否收敛于 f ( x ) (和函数问题)

问题

f ( x) ? n 0

f

( n)

( x0 )

n!1

( x x0 )

n

泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)? 不一定 2 e x , 例如 f ( x ) 0, x 0 x 0(n)

如:§11.3例6

在x=0点任意可导, 且 f f ( x )的麦氏级数为

(0) 0n

( n 0 ,1 , 2 , )

0 x

n 0

该级数在 ( , )内和函数

s( x ) 0.于 f ( x ).

除 x 0 外 , f ( x )的麦氏级数处处不收敛

定理1. 设函数f(x)在点x0的某一邻域条件是 f(x)的泰勒公式中的余项满足: 证明:f ( x)

内具有lim Rn ( x) 0 .

各阶导数, 则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充要n

n 0

f

(n)

( x0 )

n!

( x x0 ) ,n

n

x ( x0 )

令 S n 1 ( x ) k 0

f

(k )

( x0 )

k

!

( x x0 )

k

f ( x) S n 1 ( x) Rn ( x)n n

lim Rn ( x) lim f ( x) S n 1 ( x) 0 ,n n

x ( x0 )

lim sn 1 ( x ) lim( f ( x ) Rn ( x )) f ( x )7

3)当x0=0时,泰勒级数又称为麦克劳林级数f ( 0 ) f ( 0 ) x f ( 0 ) 2! x 2

f

(n)

(0)

x n

n!

重要结论函数 f (x)的麦克劳林级数是x的幂级数，可以证明： 如果 f (x)能展开成x的幂级数，则这种展开式是唯一的， 它与 f (x)的麦克劳林级数一致。 1 ( n) an f ( 0) ( n 0,1,2, ) n!

定理2.若 f (x) 能展成 x 的幂级数,则这种展开式是 唯一的,且与它的麦克劳林级数相同.8

定理2.若 f (x) 能展成 x 的幂级数,则这种展开式是 唯一的,且与它的麦克劳林级数相同. 证: 设 f (x) 所展成的幂级数为 则f ( x) a1 2a2 x nan xn 1

a0 f (0) ;

a1 f (0)1 2!

f ( x) 2!a2 n(n 1)an x f( n)

n 2

; a2 an

f (0)(n)

( x ) n ! an ;

1 n!

f

(0)

显然结论成立.9

二、函数展开成幂级数1. 直接法(泰勒级数法) 步骤: (1) 讨论f(x)的各阶导数是否存在, 并求f (n)(0);

(2) 形式地写出麦克劳林级数: 并求出收敛半径;n 0

f

( n)

(0)

x

n

n!

(3) 讨论在收敛区间 (–R,+R)满足 lim R n ( x ) n 则 或| f (n)(x)| M,f ( x ) n 0

0

f

(n)

(0)

x , x ( R, R )n

n!

例1: 将函数 f(x)=ex展开成麦克劳林级数.e 1 x x

1 2!

x 2

1 n!

x n

x ( , )10

例1 将f ( x ) e 展开成幂级数.x

e 1 x x

1 2!

x 2

1 n!

x n

x ( , )

例2 将f ( x ) sin x展开成x的幂级数. sin x x 1 3! x 3

1 5!

x ( 1)5

n

x

2 n 1

( 2n 1)!

x ( , )

14

例3 将f ( x ) (1 x ) ( R)展开成x的幂级数.

1 x

( 1) 2!

x 2

( 1) ( n 1) n!

x n

x (-1, 1)此式称为牛顿二项式展开式. 注意:在 x 1 处收敛性与 的取值有关 .

17

2.间接法 根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分,复合等方法,求展开式.

例如

co s x (sin x )

3! 5! (2n 1)! 2n 1 2 1 4 x n co s x 1 x x ( 1) x ( , ) 2! 4! (2n)!3 5 n

sin x x

1

x

1

x ( 1)

x

2 n 1

a rcta n x

x 0

dx2

1 x 2 n 1 1 3 1 5 x n x x x ( 1) 3 5 2 n 1 x dx ln (1 x ) 0 1 x x 1 2 x 2

x [ 1, 1]

1 3

x ( 1)

3

n

x

n+ 1

n+ 1

x ( 1, 1]24

例4

4 x ( n) (展开成x

1的幂级数)并求f (1).1 4 x 1 3 ( x 1) 3 (1 1 x 1 32

将f ( x )

x 1

在x 1处展开成泰勒级数

解

, )

x 1 4 x

1 3

[1

x 1 31

(

x 1 3

) (

x 1 3

) ]n

x 1 3

( x 1)

4 x

1 3

( x 1)

( x 1) 32

2

( x 1) 33

3

( x 1) 3n

n

x 1 3

于是

f

(n)

(1 )

n!

1 3n

,

故 f

(n)

(1 )

n! 3n

.

25

例5. 将 解:1 x 4x 3x 1 22

展成x-1的幂级数. 1 ( x 1)( x 3)x 1 4

( x 1 2 )n

1 1 8

x 1 2