浙大微积分2试卷(2012-2013)

浙江大学2012–2013学年春季学期 《 微积分Ⅱ》课程期末考试试卷

以下1至9题及第14题每题6分, 10至13题每题10分.解题时应写出必要的解答过程.

1. 设 (a b) c 3, 求[(a b) (b c)] (c a).

2x 4y z 1

2．求直线L的方程, 设L经过点( 1, 4,3), 且与两直线 L1: ,

x 3y 5L2:

x 2y 1z 3都垂直.

42 1

x 1 t,

3. 设直线L: y 2 t,, 其中t为参数. 求L绕z轴所成的旋转曲面的方程. 并说出该曲面

1

z 2t,

的名称.

x z 4 0

P:x 4y 8z 12且与平面所成的二面角为的平面4. 求经过直线L:

4 x 5y z 0

方程.

5.设f(x,y) x(y 4) (y 2)arcsin

2

2

x 1

arctan(y(x 1)),求fx (1,2)及y

fy (1,2).

6.设函数u 3x 2y z,点P(1,1,1),曲面S为x 2y 3z 6,求函数u在点P处沿曲面S的外法线方向的方向导数.

7. 设函数z z(x,y)由方程F(

2

2

2

2

2

2

yz

, 0确定，其中F为可微函数, 且Fz 0,计算xx

x

z z

. y

8. 求

1 1

dx

2 x2|x|

(xy 1)sin(x2 y2)dy.

2

2

2u 2u 2u

9. 设r x y z 0,u f(r)存在二阶连续导数, 求,请用

x2 y2 z2

r,f(r),f (r),f (r)表示之.

2

10.设 z f(x,y)在点(1,2)处存在连续的一阶偏导数，且f(1,2) 2,fx (1,2) 3,

fy (1,2) 4, (x) f(x,f(x,2x)), 求

d3

(x)x 1. dx

22013(y (xy))dxdy. D

11.设D是由曲线y x,x 1,y 1围成的有界闭区域，求

3

12. 求以曲面z y 2x y为顶, 以D {(x,y)|0 y x 4}为底的曲顶柱体的体积.

2y213. 在椭圆抛物面 2 2与平面z c围成的空间有界闭区域 中，放置一个边分ab

2

别平行于坐标轴的长方体，要使其体积最大，求该长方体各边的长及该长方体的体积,其

中设a 0,b 0,c 0均为常数.

x2y2

,当(x,y) (0,0);

14. 设f(x,y) (x2 y2)3/2

0,当(x,y) (0,0),

(1) 求fx (0,0)及fy (0,0); (2) 证明f(x,y)在点(0,0)处不可微.

参考解答：

1. 解：[(a b) (b c)] (c a) (a b a c b c) (c a)

(a b) c (b c) a 2(a b) c 2 3 6.

2．解: L1的方向矢量v1 {2, 4,1} {1,3,0} { 3,1,10},L2的方向矢量

v2 {4, 1,2}, L的方向矢量为

v v1 v2 { 3,1,10} {4, 1,2} {12,46, 1},

则直线L的方程为 x 1 y 4 z 3.

1246 1

3. 解: 设旋转曲面上任意一点(x,y,z), 绕z轴旋转到直线L1上的一点(x1,y1,z), 故有

L1:t z,x1 1 t 1 z,y1 2 t 2 z,x2 y2 x12 y12,

222

x2 y2 (1 z)2 (2 z2 1(20 4z 2z2) 1[(z 1)2 9]

2242

则旋转曲面方程 2x2 2y2 (z 1)2 9 , 此为单叶双曲面. 4. 解：设过L的平面束方程: (x z 4) (x 5y z) 0, 即 ( )x 5 y ( )z 4 0，

1n1 n2[( ) 20 8( )]2

cos 22 222

42|n1| |n2|[( ) 25 ( )] (1 16 64)

4

即 (3 4 ) 0，解得： 0, ,

3

2

则求得两个平面方程：

x z 4 0 及 x 20y 7z 12 0.

5. 解：fx (1,2)

d

f(x,2)x 1 [4x2 arctan(2(x 1))] x 1 dx

2

[8x ]x 1 10,

1 4(x 1)2

d

fy (1,2) f(1,y)y 2 [(y 4)2] y 2 2(y 4)y 2 4.

dy

6. 解：曲面S在点P处的法矢量n {2x,4y,6z}P 2{1,2,3},n gradu(P) {6x,4y,2z}P {6,4,2},

0

1

{1,2,3}, 201 0

gradu(P) n . {1,2,3}{6,4,2}P

yz

7. 解：由方程F(,) 0，求全微分得

xx

xdy ydxxdz zdxyF1 zF2 F1 dx dy F1 F2 0 即 dz

x2x2xF2 F2 (yF1 zF2 ) zF z

， 1，

xF2 F2

(yF1 zF2 )yF1 z z

则 x z. y

x y F2F2

u n

8. 解：D {(x,y)||x| y 极坐标表示区域 D1:0 r

2 x2, 1 x 1}, D关于y轴对称，利用对称性，并设

2, ,于是

42

D1

1

1

dx

2 x2|x|

(xy 1)sin(x2 y2)dy 2 sin(x2 y2)d

2

2 2d rsin(r2)dr

4

[ cos(r2)]0

4

(1 cos2).

2x2 2u1 u rx

9. 解： f (r) f (r), 2 f (r) 3f (r) 2f (r),

rr xrr

2y2z2 2u1 2u1y2 同理， f(r) 3f(r) 2f(r), 2 f(r) 3f(r) 2f (r), 2

rr y zrrrr

x2 y2 z22 2u 2u 2u3x2 y2 z2

fr 2 ()f(r)f(r)f (r) f (r).

r2 x y2 z2rr3r

10. 解： (1) f(1,f(1,2)) f(1,2) 2, (x) fx fy (fx 2fy ), (1) fx (1,2) fy (1,2) [fx (1,2) 2fy (1,2)] 3 4(3 2 4) 47.

d3

(x)x 1 3 2(x) (x)x 1 3 2(1) (1) 3 22 47 564. dx

11. 解：方法1：添加辅助线y x,区域分成 D1,D2,D3,D4,由对称性，

22013(y (xy))dxdy 2

3

D

D2 D3

y2dxdy

0112 2 dx y2dy 2 1 .

0 133

方法2：

1122201322013

dx(y (xy))dy . (y (xy))dxdy 1x3

3D

12. 解：V

D

y 2x y2dxdy dx y 2x y2dy

4x

3314142y x3(1 2x y)dx [(1 x) (1 2x)]dx y 0 0033

5115381144

[(1 x) (1 2x)]0 (54 1) (35 1) .

1215121515

13. 解：设该长方体在第一卦限中且在抛物面上的一个顶点坐标为(x,y,z)，于是

2y2 V 4xy(c z), 且 2 2 0,

ab

2y2设 L(x,y,z, ) 4xy(c z) ( 2 2 由拉格朗日乘数法，令 cab

y 0, 4y(c z) x 0, L Lxy 4x(c z) 2

ab2

2y2 4xy 0, L 2 2 0, Lz

ccab

解得惟一驻点：(,,且当点(x,y,z)趋于 的边界时V 0,则当边长分别为

222

a,b,时V最大，且最大体积为abc.

22

f(x,0) f(0,0)0 0

lim 0, 同理 fy (0,0) 0. 14. 解：(1) fx (0,0) lim

x 0x 0xx

( x)2( y)222

( x) ( y) (2) f f(0 x,0 y) f(0,0) , 223/2

[( x) ( y)]

f [fx (0,0) x fy (0,0) y]( x)2( y)2k2

lim lim

y k x 0[( x)2 ( y)2]2 y k x 0(1 k2)2

故lim

0

f [fx (0,0) x fy (0,0) y]

不存在，因而f(x,y)在点(0,0)处不可微.