材料力学第8章-能量法2

材料力学

能量法

第八章一、杆件的应变能

能量法

二、应变能普遍表达式(克拉贝隆原理) 应变能普遍表达式(克拉贝隆原理) 三、卡氏定理 四、互等定理 五、虚功原理 单位力法 图乘法 六、超静定问题 力法 七、冲击应力

材料力学

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能量法：利用应变能的概念，解决与弹性系统变形有关的问题 能量法：利用应变能的概念，的方法。 的方法。

有关的几个基本概念 有关的几个基本概念 1、外力功:线弹性体系在外力系的作用下产生变形，每个外力 外力功:线弹性体系在外力系的作用下产生变形，在与它相对应的位移上所作的功W。 在与它相对应的位移上所作的功 。

2、应变能:弹性体受外力作用下产生变形而储存了能量，这个 弹性体受外力作用下产生变形而储存了能量，被储存的能量即为应变能或变形能U。 被储存的能量即为应变能或变形能 。

3、能量守恒：忽略缓慢加载过程中动能和其它形式的能量损 能量守恒：失，杆件能量守恒，即杆内所储存的应变能U 杆件能量守恒，即杆内所储存的应变能 在数量上与外力所作的功W相等 在数量上与外力所作的功 相等

U=W =

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拉压应变能

FN 2 ( x )dx U = ∫ dU = ∫ L L 2 EA

扭转应变能

T ( x)dx U = ∫ dU = ∫ L L 2GI pM ( x )dx U = ∫ dU = ∫ L L 2 EIF ( x)dx T ( x)dx M ( x)dx U =∫ +∫ +∫ L L 2GI L 2EA 2EI p2 N 2 2

2

弯曲应变能

2

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二、应变能的普遍表达式(克拉贝隆原理) 应变能的普遍表达式(克拉贝隆原理) 设在某弹性体上作用有外力 F1 , F2 ,L , Fn ,在支承约束 下，在相应的力 F i方向产生的位移为 δ i ,(i =1,2,…,n)。 。则物体的应变能为： 则物体的应变能为：

U =W =

∑i =1

n

1 Fi δ i 2F2 Fi

F2 F1

Fi

Fn

δ1

F1 δ2

δi

Fn

δn

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特别注意点： 特别注意点：

Fi

——广义力，可以是一个力，也可以是一个力偶， 广义力，可以是一个力，也可以是一个力偶， 广义力 或者是一对力，或者是一对力偶。 或者是一对力，或者是一对力偶。

δ i ——在所有力共同作用下 因 δ i 与全部作用力有关 ， 在所有力共同作用下(因 与全部作用力有关), 在所有力共同作用下与广义力 Fi 相对应的沿着力的方向的广义位移。 相对应的沿着力的方向的广义位移。 力——沿力矢方向的线位移 沿力矢方向的线位移 力偶——力偶转向的角位移 力偶转向的角位移 力偶 一对力——该对力两作用点沿力矢方向的相对线位移 该对力两作用点沿力矢方向的相对线位移 一对力 一对力偶——该对力偶两作用截面间沿力偶转向的相对角位移 该对力偶两作用截面间沿力偶转向的相对角位移 一对力偶

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例子

F

δm 力

:F,位移：δ ,位移： L+δ L F F 力：m,位移： ,位移：

m m 力：m,位移： ,位移：

力：F,位移：δ ,位移：

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能量法/克拉贝隆原理 能量法 克拉贝隆原理

例2 图示等截面悬臂梁，E,A,I 已知。在自由端受集中力 和 例 图示等截面悬臂梁， 已知。在自由端受集中力F 集中力偶m 作用。设材料是线弹性的，试计算梁的应变能。 集中力偶 作用。设材料是线弹性的，试计算梁的应变能。考虑 两种不同的加载次序，略去剪力的影响。 两种不同的加载次序，略去剪力的影响。 m F 解：(1)集中力 和集中力偶 同时由 (1)集中力F和集中力偶 集中力 和集中力偶m同时由 零开始按比例逐渐增加至最终值。 零开始按比例逐渐增加至最终值。 自由端的垂直位移为： 自由端的垂直位移为： FL3 mL2 δB = (↓) 3EI 2 EI (方向与 一致 方向与m一致 方向与 一致)

L

FL2 mL + 梁自由端的转角为： 梁自由端的转角为： θ B = 2 EI EI梁的应变能

1 1 F 2 L3 FmL2 m 2 L U = F δ B + mθ B = + 2 2 6 EI 2 EI 2 EI

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能量法/克拉贝隆原理 能量法 克拉贝隆原理

先作用F,加载时做功为： (2) 先作用 ,加载时做功为：

m F

1 F L3 F 2 3EI再加力偶矩m,外力所作的功为： 再加力偶矩 ，外力所作的功为：

L

mL2 1 mL F + m 2 EI 2 EI梁的总应变能： 梁的总应变能：

F 2 L3 FmL2 m2 L U= + 6EI 2EI 2EI

从这两种不同的加载次序来看， 从这两种不同的加载次序来看，梁的应变能仅与载荷的始 态和终态有关，而与加载次序无关。 态和终态有关，而与加载次序无关。

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能量法/克拉贝隆原理 能量法 克拉贝隆原理

梁的应变能也可通过截面上的内力来计算。 (3) AB 梁的应变能也可通过截面上的内力来计算。 弯矩方程： 弯矩方程：

M ( x) = M F ( x) + M m ( x) = Fx + mm F 代入应变能的内力表达式： 代入应变能的内力表达式：

L

M2 (x)dx L ( Fx + m)2 U =∫ =∫ dx L 0 2EI 2EIF 2 L3 FmL2 m2 L = + 6EI 2EI 2EI

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能量法/克拉贝隆原理 能量法 克拉贝隆原理

m F

F 2 L3 FmL2 m2 L U= + 6EI 2EI 2EI

L

从结果中可以看到：第一、三项分别为F和m单独作用时 从结果中可以看到：第一、三项分别为 和 单独作用时 从结果中可以看到 的 应变能， 应变能，故F、m同时作用在杆内所引起的应变能不等于各 、 同时作用在杆内所引起的应变能不等于各 载荷单独作用时所引起的应变能之和。 载荷单独作用时所引起的应变能之和。其原因是这两个载 荷都使梁产生了同一种弯曲变形， 荷都使梁产生了同一种弯曲变形，彼此都在对方引起的位 移上做了功(结果中的第二项即代表 和 共同作用时在相 移上做了功(结果中的第二项即代表F和m共同作用时

在相 互影响下所做的功)。 互影响下所做的功)。

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能量法/卡氏定理 能量法 卡氏定理

三、卡氏定理 卡氏第二定理

U δi = Fi

δ1

F1 δ2

F2

Fi

δi

Fn

δn

线弹性结构的应变能，对于作用其上的 某一广义外力的变化率(偏导数),等于 与该广义外力相应的广义位移。

卡氏第一定理

U Fi = δ i

结构的应变能，对于结构上与某 一广义外力相应的广义位移的变 化率，等于该广义外力的值。

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能量法/卡氏定理 能量法 卡氏定理

卡氏定理的特殊形式(1)横力弯曲的梁： (1)横力弯曲的梁： 横力弯曲的梁

M ( x)dx U =∫ L 2 EI

2

U M ( x ) M ( x )dx δi = =∫ L EI Fi Fi(2) 小曲率的平面曲杆： 小曲率的平面曲杆：

U M ( s ) M ( s )ds δi = =∫ s EI Fi Fi式中 s —沿曲杆轴线的曲线长度。 沿曲杆轴线的曲线长度。 沿曲杆轴线的曲线长度

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能量法/卡氏定理 能量法 卡氏定理

(3) 桁架

U δi = = Fi

∑i =1

n

FN i Li FN i E i Ai Fi

2 FNi Li U =∑ i =1 2 Ei Ai n

(4) 产生拉(压)、扭转与弯曲的组合变形的圆截面等直杆 产生拉(

FN FN ( x) U T T …… 此处隐藏：2758字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……