考研数学一真题2008

考研数学历年真题

2008年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）设函数f(x) ln(2 t)dt则f (x)的零点个数（ ）

0x2

A 0.

B 1. C 2.

y

D 3.

（2）函数f(x,y) arctanx在点(0,1)处的梯度等于（ ）

A i.

B i. C j.

D j.

（3）在下列微分方程中，从y C1ex C2cos2x C3sin2x（C1,C2,C3为任意常数）

为通解的是（ ）

A y y 4y 4y 0.

B y y 4y 4y 0. D y y 4y 4y 0.

C y y 4y 4y 0.

（4）设函数f(x)在( , )内单调有界， xn 为数列，下列命题正确的是（ ）

A 若 xn 收敛，则 f(xn) 收敛. f(xn) 收敛.

B 若 xn

单调，则

C 若 f(xn) 收敛，则 xn 收敛.

则 xn D 若 f(xn) 单调，

收敛.

（5）设A为n阶非零矩阵E为n阶单位矩阵若A3 0，则（ ）

A E A不可逆，E A不可逆. C E A可逆，E A可逆.

B E A不可逆，E A可

逆.

E A不可 D E A可逆，

逆.

x

（6）设A为3阶非零矩阵，如果二次曲面方程(x,y,z)A y 1在正交变换下的

z

标准方程的图形如图，则A的正特征值个数（ ）

A 0.

B 1. D 3.

C 2.

考研数学历年真题

（7）随机变量X,Y独立同分布且X分布函数为F X ，则Z max X,Y 分布函数为（ ）

A F X .

2

2

B F X F Y .

C 1 1 F X . D 1 F X 1 F Y .

（8）随机变量X N 0,1 ，Y N 1,4 且相关系数 XY 1，则（ ）

A P Y 2X 1 1. C P Y 2X 1 1.

B P Y 2X 1 1. D P Y 2X 1 1.

二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置

上.

（9）微分方程xy y 0满足条件y 1 1的解是y . （10）曲线sin xy ln y x x在点 0,1 处的切线方程为 . （11）已知幂级数 an x 2 n在x 0处收敛，在x 4处发散，则幂级数

n 0

a x 3

nn 0

n

的收敛域为 .

（12）设曲面

是z xydydz xdzdx x2dxdy .

（13）设A为2阶矩阵，a1,a2为线性无关的2维列向量，Aa1 0,Aa2 2a1 a2，则A的非零特征值为 .

（14）设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则P X

EX2

.

三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(15)（本题满分10分）

求极限lim

x 0

sinx sin sinx sinx

x

4

.

(16)（本题满分12分） 计算曲线积分

L

sin2xdx 2 x2 1 ydy，其中L

是曲线y sinx上从点 0,0 到点

,0 的一段.

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(17)（本题满分12分）

x2 y2 2z2 0，求C点距离XOY面最远点和最近的点. 已知曲线C:

x y 3z 5

(18)（本题满分12分）

函数f x 连续，F x xf t dt，证明F x 可导，且F x f x .

(19)（本题满分12分）

f x 1 x

2

，用余弦级数展开，并求 1 的和 2

n 1

n 1

n

(20)（本题满分9分）

A T T， 为 的转置， 为 的转置

T

T

（1）证r(A) 2；（2）若 , 线性相关，则r(A) 2.

（21）（本题满分9分） 设矩阵

2a1

2 a2a ，现矩阵AA 1

a22a n n

满足方程AX B，其中X x1, ,xn T，

B 1,0, ,0 ，

（1）求证A n 1 an

（2）a为何值，方程组有唯一解，求x1 （3）a为何值，方程组有无穷多解，求通解

（22）（本题满分9分）

设随机变量X与Y相互独立，X概率分布为P X i 1 i 1,0,1 ，概率密度

3

10 y 1为fY y ，记Z X Y

0其它

1 （1）求P Z X 0

2

（2）求Z的概率密度．

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（23）（本题满分9分）

x21,x2, ,xn是总体为N( , )的简单随机样本.记n

1 xi，

n

i 1

S2

1n2212 n 1 (xi

)，T Si 1

n （1）证 T是 2的无偏估计量.

（2）当 0, 1时 ，求DT. .