2008北理工线性代数考试题 (2)

线性代数考试题

课程编号：A073122 北京理工大学2008-2009学年第一学期

高等代数C试题B卷

班级 ________ 学号 _________ 姓名 __________ 成绩 ___________

一、（10分）已知A*是矩阵A的伴随矩阵，且A 1XA A 1B A*XB，其中

101 1

, B 3 A 010

0 100

求X。

线性代数考试题

二、（10分）问a,b为何值时，线性方程组

x1 x2 x3 x4 0

x2 2x3 2x4 1

x2 (a 3)x3 2x4 b 3x1 2x2 x3 ax4 1

有唯一解？无解？有无穷多解？并求出有无穷多解时的通解。

（用导出组的基础解系表示通解）

三、（10分）在F[x]4中，求自然基1,x,x2,x3到基1,1 x,1 x x2,1 x x2 x3的过渡矩阵，以及h(x) 1 x x2 x3在后一个基下的坐标。

线性代数考试题

四、（10分）已知

1 (1,0,1,0), 2 (1,1,1,0), 3 (0,1,0,1), 4 (2,1,2, 1)

(1) 求向量组 1, 2, 3, 4的秩和一个极大无关组; (2) 用所求的极大无关组线性表出剩余向量。

线性代数考试题

五、（10分）设矩阵A的Jordan标准形为

11 1 J 1

2

0

试写出A的初等因子。

六、（10分）在R3中定义线性变换 ：

(x1,x2,x3) (x1,x1 x2,2x3)

求 在R3的自然基 1, 2, 3下的矩阵。

线性代数考试题

七、（10分）已知线性方程组AX 0的一个基础解系：X1 (1,0,1)T, X2 (2,1,0)T， 求此方程组的解空间的一个标准正交基。

1八、（10分）已知实二次型f(x1,x2,x3) XTAX，其中A 0 1(1) 求一正交变换X QY，将二次型f(x1,x2,x3)化为标准形; (2) 判断二次型f(x1,x2,x3)是否正定。

0 1

10 01 。

线性代数考试题

jiij

九、（10分）已知n阶矩阵A的特征值为 1, 2, , n，且A B1 B。

R 2RC 2C

(1) 求A; (2) 求B的特征值。

十、（10分）设A是n阶矩阵， 1, 2, , n是n元列向量，其中 n 0，并且

A 1 2, A 2 3, , A n 1 n, A n 0

(1) 证明向量组 1, 2, , n线性无关； (2) 求A的特征值和特征向量； (3) 判断A是否可以相似对角化。