数列章末总结提升

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章末总结提升

一、知识要点归纳 1．数列的概念及表示方法

(1)定义：按照一定顺序排列的一列数．

(2)表示方法：列表法、图象法、通项公式法和递推公式法．

(3)分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系可分为递增数列、递减数列、摆动数列和常数列． 2．求数列的通项

(1)数列前n 项和S n 与通项a n 的关系：

a n ＝?????

S 1，n ＝1，S n －S n －1

，n ≥2.

(2)累加法：当已知数列{a n }中，满足a n ＋1－a n ＝f (n )，且f (1)＋f (2)＋…＋f (n )可求，则可用累加法求数列的通项a n ，常利用恒等式a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)(n ≥2)．

(3)累积法：当已知数列{a n }中，满足a n ＋1

a n ＝f (n )，且f (1)·f (2)·…·f (n )可求，则可用累积法求数列的通项

a n ，常利用恒等式a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n

a n －1

(n ≥2)．

(4)作新数列法：对由递推公式给出的数列，经过变形后化归成等差数列或等比数列来求通项． (5)归纳、猜想、证明法． 3．等差、等比数列的性质

4．求数列的前n 项和的基本方法

(1)公式法：利用等差数列或等比数列前n 项和S n 公式； (2)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列；

(3)裂项(相消)法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和；

(4)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和； (5)倒序相加：例如等差数列前n 项和公式的推导； (6)并项求和法：适用于正负相间的数列． 三、题型探究

题型一 写数列的一个通项公式

例1 根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式．

(1)23，415，635，863，…；(2)12，2，92，8，25

2，…；(3)－1,2，－3,4，…；(4)2,22,222,2 222，…. 跟踪训练1 已知数列的前几项，写出下面数列的一个通项公式． (1)1,3,7,15,31，…；(2)4,44,444,4 444，…；(3)1,2,1,2,1,2，…. 题型二 由递推公式求通项公式

例1 已知数列{a n }中，a 1＝1，且a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，写出前3项，猜想{a n }通项公式并加以证明．

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跟踪训练1 在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1

n )，求a n .

题型三 等差数列的概念与通项公式

例 1 (1)在数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N *)，求数列{a n }通项公式.

(2)已知m 和2n 的等差中项是8,2m 和n 的等差中项是10，则m 和n 的等差中项是________． 例2 (1)若{a n }是等差数列，a 15＝8，a 60＝20，求a 75.

(2)已知递减等差数列{a n }的前三项和为18，前三项的乘积为66.求数列的通项公式，并判断－34是该数列的项吗？

跟踪训练1 已知{a n }为等差数列，分别根据下列条件写出它的通项公式： (1)a 3＝5，a 7＝13；(2)前三项为a,2a －1,3－a . 跟踪训练2 在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2n

＋1. (1)求证：数列{a n －2n

}为等差数列；

(2)设数列{b n }满足b n ＝2log 2(a n ＋1－n )，求{b n }的通项公式． 题型四 等差数列的性质及应用 例1．已知数列{a n }中，a 1＝4. (1)若a n ＝a n ＋1＋3，求a 10.

(2)若数列{1a n }为等差数列，且a 6＝1

4，求数列{a n }的通项公式．

题型五 等差数列前n 项和

例1 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 5＋a 13＝34，S 3＝9. (1)求数列{a n }的通项公式（2）求数列{a n }前n 项和；

跟踪训练 1 在数列{a n }中，a 1＝1，且满足2a n ＋1＝2a n +4(n ∈N *). (1)判断数列{a n }是否是等差数列，说明理由； (2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝36，求k 的值.

跟踪训练2 若数列{a n }前n 项和为S n ＝2n 2＋3n ＋1，求数列{a n }通项公式判断该数列是不是等差数列． 跟踪训练3 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，则数列{S n

n }的前10项的

和为________．

题型六 等差数列前n 项和的最值问题

例1 在等差数列{a n }中，若a 1＝25，且S 9＝S 17，求S n 的最大值． 题型七 裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求和．

常见的拆项方法：

(1)1n (n ＋k )＝1k (1n －1n ＋k )；(2)1n ＋k ＋n ＝1k (n ＋k －n )；(3)1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1)． 例1 等差数列{a n }中，a 1＝3，公差d ＝2，S n 为前n 项和，求1S 1＋1S 2＋…＋1S n

.

跟踪训练1 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1

(2n －1)(2n ＋1)，求数列{a n }的前n 项和S n .

题型八 等比数列的判定与证明

例1 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n ＋1，求证：{a n }是等比数列，并求出通项公式．

跟踪训练1 已知f (x )＝log m x (m ＞0且m ≠1)，设f (a 1)，f (a 2)，…，f (a n )，…是首项为4，公差为2的等差数列，求证：数列{a n }是等比数列． 题型九 构造等比数列求数列的通项公式

例1 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2)，且a n ＋S n ＝n . (1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列；(2)求数列{b n }的通项公式．

跟踪训练1 数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝a 2n ＋6a n ＋6(n ∈N *

)，设c n ＝log 5(a n ＋3)．

(1)求证：{c n }是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式． 例

2

等比数列

{}

n a 的各项均为正数，且

187465=+a a a a ，则

1032313log log log a a a +??++= .

题型十 等比数列基本量的计算 例1 在等比数列{a n }中， (1)S 2＝30，S 3＝155，求S n ； (2)a 1＋a 3＝10，a 4＋a 6＝5

4

，求S 5；

(3)a 1＋a n ＝66，a 2a n －1＝128，S n ＝126，求q . 题型十一 错位相减法求和

例1 设{a n }是等差数列，{b n }是各项都为正数的等比数列，且a 1＝b 1＝1，a 3＋b 5＝21，a 5＋b 3＝1 (1)求{a n }，{b n }的通项公式； (2)求数列{a n

b n

}的前n 项和S n .

跟踪训练1 已知等比数列{a n }中，a 2＝14，a 5＝1

32.

(1)试求{a n }的通项公式；

(2)若数列{b n }满足：b n ＝n

a n

(n ∈N *)，试求{b n }的前n 项和公式T n .