广商概率论参考答案及评分标准(B卷)

广东商学院试题参考答案及评分标准

2006-2007学 年 第一学 期

课程名称 概率论与数理统计 课程代码 课程负责人 --------------------------------------------------------------------------------------------------------- --- ---------

一、填空题（每小题2分，共20分）

1、 以A表示事件“丙种产品畅销”，其对立事件A表示 丙种产品滞销 2、 概率具备非负性、和可列可加性。

3、 假设事件A和B满足P(A|B) 1，则A与B4、 如果事件A和B是互不相容的，且P(A) 0.5,P(B) 0.1，则P(A B)

1

,a x b

5、 若X~U(a,b)，则X的概率密度函数为f(x) b a

0,其它

6、 二项分布B(n,p)的分布律P{X k} Cnkpk(1 p) n7、 正态分布N(u, 2)k

k 0,1 ,2,n8、 设随机变量X的期望E(X) u，方差D(X) 9，则对任意给定的正数 ，有P{X u } 9、 历史上最早的中心极限定理是

9

2

10、设(X,Y)为二维连续型随机变量，f(x,y)为其联合概率密度，fX(x),fY(y)分别为X与Y的边缘

)y( ，则称)密度，若对任意x,y，有 f(x,y) fXx(fYX,Y

二、选择题（每小题2分，共10分）

1、 对任意两事件A，B，与A B B不等价的是A、A B B、B A C、AB D、AB 2、设随机变量 的概率密度为f(x) kcos2x（x [

4,4

]），则k的值为

A、 0.5 B、1 C、2 D、0.25

3、设F1(x),F2(x)分别是随机变量X1,X2的分布函数，为使F(x) aF1(x) bF2(x)是某一随机变量的分布函数，则a,b的取值为 A、a

35,b

25

B、a

23

,b

23

C、a

12

,b

32

D、a

12

,b

32

4、设 1, 2, , n相互独立，E( i) 1,D( i) 1(i 1,2, ,9)，则对任意给定 0有

1

- -

9

A、P{ i 1 } 1 B、P{

i 19

2

2

1

9

i

9

i 19

1 } 1

2

C、P{ i 9 } 1 D、P{ i 1 } 1 9 2

i 1

i 1

5、如果X与Y满足D(X Y) D(X Y)，则必有 A、X与Y独立 B、X与Y不相关 C、D(X) 0 D、D(X)D(Y) 0 答案：DBADB

三、计算题（每小题6分，共24分）

1、 一个袋子装有10个大小相同的球，其中3个黑球，7个白球，求：从袋子中任取两个球，两个全是黑

球的概率。

2

解：10个球中任取两球的取法有C10种，其中两个黑球的取法有C32种，记B为事件“两个球都是黑球”，

则P(B)

C3

2

C10

2

345

115

。

2、已知P(A) 0.3,P(B) 0.4,P(A|B) 0.5，试求P(B|A),P(B|A B)。 解：由乘法公式，P(AB) P(A|B)P(B) 0.5 0.4 0.2，

P(AB)P(A)

0.2

0.3

2， 3

因此 P(B|A)

又因为B A B，所以B(A B) B，从而

P(B(A B))P(A B)

P(B)

P(A) P(B) P(AB)

0.40.3 0.4 0.2

45

P(B|A B) 。

3、 某商品收进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱，甲厂每箱装100个，废品率为0.06，乙厂每箱装120个，废品率为0.05，求任取一箱，从中任取一个为废品的概率。 解：记事件A、B分别为甲、乙两厂的产品，C为废品，则：

P(A)

3050

35

,P(B)

2050

25

P(C|A) 0.06,P(C|B) 0.05

35

0.06

25

0.05 0.056

由全概率公式P(C) P(A)P(C|A) P(B)P(C|B) 0, 2

4、设随机变量X的分布函数为F(x) x,

1,

x 00 x 1.1 x

2

- -

求概率P{0.3 X 0.7}。 解：由分布函数的性质2和3，有

22

P{0.3 X 0.7} F(0.7) F(0.3) 0.7 0.3 0.4

四、计算题（每小题8分，共24分）

24

y(2 x),0 x 1,0 y x

1、设(X,Y)的概率密度是f(x,y) 5，求关于Y的边缘密度函数

0,其它

1y

解：fY(y)

245

y(2 x)dx

245

y(

32

2y

y

2

2

)(0 y 1)，

2

243y

y( 2y )

即fY(y) 522

0,其它

0 y 1

。

2、设X~N(u, 2)，求D(X)。

解：先求标准正态变量Z

X u

的数学期望。 t

2

因为Z

的概率密度为 (t)

t

2

2

( t )

2

所以E(Z)

te

2

2

dt

t

2

| 0，

t2

2

E(Z2)

te

2

t

2

dt

tde

t2

2

|

e

t2

2

dt 1，

D(Z) E(Z) [E(Z)] 1

2

因X u Z 即得D(X) D(u Z) D(u) D( Z)

22

22

3、 已知X~N(1,3),Y~N(0,4)，且X和Y的相关系数 XY

12

，设Z

X3

Y2

，求 XZ。

解：

D(X) 3,D(Y) 4,且cov(X,Y)

XY 3 4 ( X

Y

X

12) 6

2

2

Y

所以-)=cov(X,)-cov(X,)

3232 =

13

cov(X,X)

12

cov(X,Y) 6

3

- -

D(Z) D(

X3

Y2

)

19

D(X)

14

D(Y) 2cov(

X3

,

Y2

) 7

故 XZ

cov(X,Z)

6

7

五、应用题（每小题8分，共16分）

1、 在整数0至9中先后按下列情况任取两数X和Y：第一个数抽取后不放回再抽取第二个数，求在

Y k(0 k 9)的条件下X的分布律。

解：

P{X i,Y k}

110 19 190

(当i k时)

110

当i k时，P{X i,Y k} 0，P{Y k} 从而

，

1

P{X i,Y k} ,i k

P{X i|Y k} 9i,

P{Y k} 0,i k

0 ,1,。, 9

2、对以往数据分析结果表明，当机器调整良好时，产品的合格率为98%，而当机器发生某种故障时，其合

格率为55%。每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为95%。试求已知某日早上第一件产品合格时，机器调整良好的概率是多少？

解：设A为事件“产品合格”，B为事件“机器调整良好”。已知 P(A|B) P(B|A) 六、证明题（6分）

证明随机变量X,Y的相关系数 XY 1。

证明：由方差的性质和协方差的定义知，对任意实数b，有 0 D(Y bX) bD(X)

cov(X,Y)D(X)

2

0.98P,A(B |)0.P55B ,() P0. 9B5,，由贝叶斯公式，有()0.050. 98

0.95

P(A|B)P(B)

P(A|B)P(B )

P(A|B)P(B)

0.98 0.95

7 0.9

0.550.05

D(Y) ,Y …… 此处隐藏：1393字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……