高数第五版2-4隐函数及由参数方程所确定的函数的导数+...

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一、隐函数的导数定义:若由方程F(x,y)=0可确定y是x的函数,则称此函数为隐函数 . 由y=f(x)表示的函数,称为显函数 .F ( x, y) 0

y f ( x ) 隐函数的显化

问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导? 隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导.上页 下页 首页

隐函数的求导法则方法： 如果由方程 F(x, y) = 0 确定隐函数 y = f (x) 可导,

则将 y = f (x) 代入方程中, 得到F ( x, f (x) ) 0 对上式两边关于 x 求导：d dx F ( x , y) 0

然后,从这个式子中解出y ,就得到隐函数的导数.上页 下页 首页

例1 求由方程 xy e x e y 0 所确定的隐函数y 的导数 dy dx dx , dyx 0

.

解

方程两边对 x 求导 ,

y x

dy dxdy dx

e exx

y

dy dx,

0

解得 dy dx

e y x ex

y

由原方程知 1.

x 0, y 0,

e y x ey x 0 y 0

x 0

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例2 设曲线 C 的方程为 x 3 y 3 3 xy , 求过 C 上3 3 点 ( , )的切线方程 , 并证明曲线 C 在该点的法 2 2 线通过原点 .

解 方 程 两 边 对 x求 导 , y 3 3 ( , ) 2 2

3 x 3 y y 3 y 3 xy 2 2

y x2

2

y x

3 3 ( , ) 2 2

1.

所求切线方程为 y 法线方程为

( x ) 即 x y 3 0. 2 2 3 3 y x 即 y x , 显然通过原点. 2 2上页 下页 首页

3

3

例3 设 x 4 xy y 4 1 , 求 y 在点 ( 0 ,1 )处的值 .

解 方程两边对 x 求导得4 x y xy 4 y y 03 3

(1 ) 1 4 ;

代入 x 0 , y 1得

y

x 0 y 1

将方程 (1 )两边再对 x 求导得

12 x 2 y x y 12 y ( y ) 4 y y 02 2 2 3

代入 x 0 , y 1 , y

x 0 y 1

1 4

得

y

x 0 y 1

1 16

.

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对数求导法( x 1) 3 x 1 ( x 4) e2 x

观察函数 y

,

y x

sin x

.

方法:先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数. --------对数求导法

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取对数求导法常用来求一些 复杂的乘除式、根式、幂指函数

等的导数.

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例4 设 y

( x 1) 3 x 1 ( x 4) e2 x

, 求 y .

解 等式两边取对数得ln y ln( x 1 ) 1 3 ln( x 1 ) 2 ln( x 4 ) x

上式两边对 x 求导得y y 1 x 1 1 3( x 1)[

2 x 41

11 3( x 1) 2 x 4

y

( x 1) 3 x 1 ( x 4) e2 x

x 1

1]

对这类型的题用取对数求导法很方便哦！上页 下页 首页

例5 设 y x sin x ( x 0 ), 求 y .

解

等式两边取对数得 ln y sin x ln x上式两边对 x 求导得1 y y cos x ln x sin x 1 x

y y (cos x ln x sin x xsin x

1 x

) )

(cos x ln x

sin x x

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一般地f ( x ) u( x )v( x)

( u( x ) 0)

ln f ( x ) v ( x ) ln u( x )又 d dx ln f ( x ) 1 d f ( x)

f ( x ) dx

f ( x ) f ( x )

d dx

ln f ( x )

f ( x ) u( x )

v( x)

[v ( x ) ln u( x )

v ( x )u ( x ) u( x )上页

]

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二、由参数方程所确定的函数的导数 x (t ) 若参数方程 确定 y与x间的函数关系 , y (t ) 称此为由参数方程所确定的函数. x 2t , 2 y t , 2

例如

t x2

x 2 y

消去参数 t1 2 x

y t ( ) 2 42

x

问题: 消参困难或无法消参如何求导?上页 下页 首页

x (t ) 在方程 中, y (t )

设函数 x ( t )具有单调连续的反函数 y [ ( x )] 1

t ( x ), 1

再设函数 x ( t ), y ( t )都可导 , 且 ( t ) 0 ,

由复合函数及反函数的求导法则得dy dt dy 1 ( t ) dx dt dx dt dx ( t ) dt dy

dy 即 dt dx dx dt上页 下页 首页

dy

x (t ) 若函数 二阶可导 , y (t )

d y dx2

2

d ( t ) dt ( ) ( ) dt ( t ) dx dx dx

d

dy

( t ) ( t ) ( t ) ( t ) 1 2 (t ) ( t )即 d y dx2 2

( t ) ( t ) ( t ) ( t ) (t )3

.

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x a ( t sin t ) 例6 求摆线 在 t 处的切线 2 y a (1 cos t )方程 .dy

解

dt a sin t sin t a a cos t 1 cos t dx dx dt sin dy 2 1. dx t 2 1 cos 2 dy上页 下页 首页

当t

2

时 , x0 a(

2

1), y 0 a .

所求切线方程为y a x a(即 y x a(2

22

1))

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