圆环管中充分发展层流流动平均努谢尔数的计算求解

用有限容积法,在结构化网格和非结构化网格中,理论分析和数值求解圆环管内充分发展层流流动传热的平均努谢尔数,并将计算结果与精确解进行比较,从而证明数值传热方法的优越性。

圆环管中充分发展层流流动平均努谢尔数的计算求解

张敏1，李来所2，杨峻2，谢锦军2，许彬1

1

南京理工大学动力工程学院，南京(210094)

2

江苏中圣集团，南京(210009)

E-mail：

摘 要：用有限容积法，在结构化网格和非结构化网格中，理论分析和数值求解圆环管内充分发展层流流动传热的平均努谢尔数，并将计算结果与精确解进行比较，从而证明数值传热方法的优越性。

关键词：平均努谢尔数，结构网格/非结构网格，充分发展层流

圆环管中充分发展层流对流换热的平均努谢尔数求解计算在工业界十分重要。关于这方面的研究，美国学者Patankar[1-2]和中国学者陶文铨[3-4]等作了大量工作。本文通过数学推导和在构化网格与非结构化网格中的数值模拟，介绍对此类流动传热问题的基本研究方法。

1. 基本概念和方程

由充分发展层流流动的假设[5-6]，圆柱坐标系中Z方向的无量纲动量方程为，

+1=0

由下边界条件，求解方程(1.1) 得无量纲速度W分布，

1 W

RR R R

(1.1)

R=1,W=0

R=ro/ri=a,W=01a2 12

W=(1 R)+lnR

44lna

平均无量纲速度为，

a 1(a2 1)3

=(RR)RlnR= + dR2222∫1 lnaπ(a 1)2(a 1)

1

(1.2) (1.3)

2π∫WRdR

a

(1.4)

1 2(a2 1) = (a+1) 8 lna

在简单充分发展层流情况下，对于恒定热流边界条件（第二类边界条件），z方向的无量纲能量方程可以简化为如下极坐标形式[2]，

1 Θ w

(1.5) R +=0

R R R 其中，无量纲坐标R和无量纲温度Θ定义如下，

k(Tw T)r

R=,Θ=

(1.6) dTDρcpwD2b

dz

其中，D为通道截面的某一特性尺寸，在此我们取圆环形的内径。对于圆环形通道，由下

边界条件，求解方程(1.5)有，

用有限容积法,在结构化网格和非结构化网格中,理论分析和数值求解圆环管内充分发展层流流动传热的平均努谢尔数,并将计算结果与精确解进行比较,从而证明数值传热方法的优越性。

R=1,Θ=0

r

R=o=a,Θ=0

ri

速度w/分布比，可等效于无量纲速度W/分布比（方程(1.3)和(1.4)）有，

22

wW2((1 R)lna+(a 1)lnR)2

()(1)+g(a)lnR ===ha R22

(a+1)lna (a 1)(1.7)

(1.8)

其中，

h(a=2)=

2lna2ln2

=22

(a+1)lna (a 1)5ln2 3

(1.9a)

2(a2 1)6

(1.9a) g(a=2)=2=

(a+1)lna (a2 1)5ln2 3

为了以后研究方便，我们取半径比为2。从方程(1.5)有常微分方程为，

1d dΘ 2

R =h(a=2)(R 1) g(a=2)lnR RdR dR

两次积分，并代入边界条件，最后有，

(1.10)

R4ln2+4(3 ln2)R2 12R2lnR 1

Θ(a=2)=

8(5ln2 3) +9(5ln2 4)lnR 3(4 ln2)

平均无量纲液膜温度有，

(1.11)

WΘdA2π2∫(a=2)≡=WΘRdR=W/)ΘRdR /()(∫∫3∫WdA(a 1)π

A

a

2

b2

11

(1.12)

A

把上结果代入如下平均努谢尔数（Nu）定义， 最后有，

Nu=

2 A 1 De 1 2(a 1) 1==== 2 1 (a=2)

k(Tw Tb)b PD 2b D b b

(1.13)

对于上面式(1.12)中平均无量纲液膜温度，由于计算的复杂性，很难给出准确的结果。

有兴趣的读者可以尝试。

2. 数值计算分析

本算例中，取内外半径比为a=2,代入定义式有[7-8]，

fRe=

2(Dh/D)W

2

2(2ri(a 1)/ri)2(a 1)2lna

==642

2

(a+1)lna (a2 1) 2 a 1

(1/8) (a+1)

lna

(2.1)

(2 1)2ln2ln2

=642==95.23642

(2+1)ln2 (2 1)5ln2 3

图1为非结构化计算网格（1508单元），计算参数在下式中给出，

k=1,µ=1,ρcp=1,Rout=2.0,Rin=1.0,

(2.2) (2.3)

qw=5.0,

dp

= 1dz

用有限容积法,在结构化网格和非结构化网格中,理论分析和数值求解圆环管内充分发展层流流动传热的平均努谢尔数,并将计算结果与精确解进行比较,从而证明数值传热方法的优越性。

图2给出了非结构化网格计算的无量纲温度（k(Tw T)/4Deq）。图3 为结构网格（36X12）计算的无量纲速度和温度场分布。由于对称性，我们采用半个圆环域。

Figure 1. Unstructured mesh Figure 2. Dimensionless temperature distributions

图1 非结构化计算网格 图2 无量纲温度场分布

表1汇总了数值解和精确解的计算结果。为了展示数值解的简洁性，在表2 中给出了非结构化网格的计算子程序。细心的读者会发现，结构化网格用的网格单元少，但更接近理论值。为了方便读者，表3给出一个完整的结构化网格子程序，有兴趣的读者可以尝试。通过比较，你将会感受两者之间的不同。

Figure 3. Dimensionless velocity and temperature distributions (structured grid)

图3 结构网格计算的无量纲速度和温度场分布

表1不同的fRe 和Nu

fRe Nu Number

精确解（平板) 95.23（96） ？（8.23）

非结构网格 结构网格

94.4 94.9 7.86 8.20

用有限容积法,在结构化网格和非结构化网格中,理论分析和数值求解圆环管内充分发展层流流动传热的平均努谢尔数,并将计算结果与精确解进行比较,从而证明数值传热方法的优越性。

表2 非结构化网格的计算子程序

C----------------------------------------------------------------------------- ASUM=0.0 WSUM=0.0 TSUM=0.0 DO 300 I=1,NCV AR=VOL(I) ASUM=ASUM+AR WSUM=WSUM+WB(I)*AR TSUM=TSUM+WB(I)*T(I)*AR 300 CONTINUE

WBAR=WSUM/ASUM

TB=TSUM/(WSUM+SMALL) WP=2.*(RD1+RD2)*PI DH=4.*ASUM/WP

RE=DH*WBAR*DEN/AMU

FRE=-2.*DPDZ*DH/(DEN*WBAR**2+SMALL)*RE TWAV=0.0

DO 310 I=NCV+1,NCVALL IFACE=NCFACE(1,I) TWAV=TWAV+AREA(IFACE)*T(I) 310 CONTINUE TWAV=TWAV/WP

ANU=QW*DH/(COND*(TWAV-TB)+SMALL)

C-----------------------------------------------------------------------------

表3 结构化网格的计算子程序

CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC SUBROUTINE ADAPT INCLUDE 'COMMON.for'

C*********************************************************************** DIMENSION W(NI,NJ),T(NI,NJ) EQUIVALENCE (F(1,1,1),W(1,1)),(F(1,1,2),T(1,1))

C*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-* ENTRY GRID

HEADER='ANNULAR SECTOR ROUND DUCT' PRINTF='PRINT91' PI=3.14159 CALL DATA3(ROUT,2.,RIN,1.,XL,PI) CALL DATA2(R(1),RIN,YL,ROUT-RIN) CALL INTA3(NCVLX,36,NCVLY,12,MODE,3) C …… 此处隐藏：5281字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……