继续教育第二次10模块作业

19.2.3 正方形

19.2.3 正方形

教学过程

19.2.3 正方形

3:用正方形的手绢对折看有什么性质？

正方形性质定理 1:正方形的四个角都是直角，四条边都相等。 正方形性质定理 2:正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。 3:正方形是中心对称图形，又是轴对称图形。

第二步：应用举例：例 1(教材 P111 的例 4) 求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等 的等腰直角三角形. 已知：四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC、BD 相交于点 O(如图) .求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO 是全等 的等腰直角三角形. 证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ AC=BD, AC⊥BD, AO=CO=BO=DO(正方形的两条对角线相等，并且 互相垂直平分) . ∴ △ABO、△BCO、△CDO、△DAO 都是等腰直角三角形， 并且 △ABO △△BCO△△CDO△△DAO. 例 2 (补充)已知：如图，正方形 ABCD 中，对角线的交点为 O,E 是 OB 上的 一点，DG⊥AE 于 G,DG 交 OA 于 F.求证：OE=OF. 分析：要证明 OE=OF,只需证明△AEO≌△DFO, 由于正方形的对角线垂直平分且相等，可以得到∠AOE=

∠DOF=90°,AO=DO,再由同角或等角的余角相等可以 得到∠EAO=∠FDO,根据 ASA 可以得到这两个三角形 全等，故结论可得. 证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ ∠AOE=∠DOF=90°,AO=DO(正方形的对角 线垂直平分且相等). 又 DG⊥AE, ∴ ∠EAO+∠AEO=∠EDG+∠AEO=90°. ∴ ∠EAO=∠FDO. ∴ △AEO ≌△DFO. ∴ OE=OF. 例 3 (补充)已知：如图，四边形 ABCD 是正方形， 分别过点 A、C 两点作 l1∥l2,作 BM⊥l1 于 M,DN⊥l1 于 N,直线 MB、DN 分别交 l2 于 Q、P 点. 求证：四边形 PQMN 是正方形. 分析：由已知可以证出四边形 PQMN 是矩形，再 证△ABM≌△DAN,证出 AM=DN,用同样的方法证 AN=DP.即可证出 MN=NP.从而得出结论. 证明：∵ PN⊥l1,QM⊥l1, ∴ PN∴QM,∠PNM=90°. ∵ PQ∴NM, ∴ 四边形 PQMN 是矩形. ∵ 四边形 ABCD 是正方形 ∴ ∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=DC(正方形的四条边都相等，四个角都 是直角) . ∴ ∠1+∠2=90°. 又 ∠3+∠2=90°, ∴ ∠1=∠3. ∴ △ABM△△DAN. ∴ AM=DN. 同理 AN=DP. ∴ AM+AN=DN+DP 即 MN=PN. ∴ 四边形 PQMN 是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形) .

19.2.3 正方形

例 4: 已知： 分别延长等腰直角三角形 OAB 的两条直角边 AO 和 BO , AO=OC, 使 BO=OD,求证：四边形 ABCD 是正方形。

例 5:已知：点 A,、B,、C,、D,分别是正方形 ABCD 四条边上的 点，并且 AA,=BB,=CC,=DD。求证：四边形 A,B,C,D,是正方形。

第三步： 、随堂练习1.正方形的四条边____ __,四个角___ ____,两条对角线____ 2.下列说法是否正确，并说明理由. ①对角线相等的菱形是正方形； ( ) ) ) ____.

F

②对角线互相垂直的矩形是正方形； (

③对角线垂直且相等的四边形是正方形； ( ④四条边都相等的四边形是正方形； ( )

B

A E

⑤四个角相等的四边形是正方形. ( ) D C 1. 已知：如图，四边形 ABCD 为正方形，E、F 分别 为 CD、CB 延长线上的点，且 DE=BF.求证：∠AFE=∠AEF. 4.如图，E 为正方形 ABCD 内一点，且△EBC 是等边三角形， 求∠EAD 与∠ECD 的度数.

第四步：课后反思：1.已知：如图，点 E 是正方形 ABCD 的边 CD 上一点， 点 F 是 CB 的延长线上一点，且 DE=BF. 求证：EA⊥AF.

2. 已知： 如图， ABC 中， C=90°, 平分∠ACB, △ ∠ CD DE⊥BC 于 E,DF⊥AC 于 F.求证：四边形 CFDE 是正方形.

3.已知：如图，正方形 ABCD 中，E 为 BC 上一点，AF 平 分∠DAE 交 CD 于 F,求证：AE=BE+DF.

19.2.3 正方形

第五步：反馈归纳(1)正方形是怎样的平行四边形？,有一组邻边相等，且有一个角是直角的 平行四边形； (2)正方形是怎样的矩形？有一组邻边相等的矩形； (3)正方形是怎样的菱形？有一个角是直角的菱形；

(4)明确四者之间的关系！!!! (5)判定一个平行四边形是正方形，还应具备什么条件？方法 1 (6)判定一个矩形是正方形还应具备什么条件？方法 2; (7)判定一个菱形是正方形还应具备什么条件？方法 3; (8)小结：判定正方形的方法有三种。

知识再现：⑴ 对边平行 ⑵ 四边相等 ⑶ 四个角都是直角 正方形 ⑷ 对角线相等 互相垂直 互相平分 平分一组对角 对角线 角 边

课后反思 ：