难点20 不等式的综合应用

难点20 不等式的综合应用

不等式是继函数与方程之后的又一重点内容之一，作为解决问题的工具，与其他知识综合运用的特点比较突出.不等式的应用大致可分为两类：一类是建立不等式求参数的取值范围或解决一些实际应用问题；另一类是建立函数关系，利用均值不等式求最值问题、本难点提供相关的思想方法，使考生能够运用不等式的性质、定理和方法解决函数、方程、实际应用等方面的问题.

●难点磁场

(★★★★★)设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a＞0)，方程f(x)－x=0的两个根x1、x2满足0＜x1＜x2＜1. a

x1. 2(1)当x∈［0，x1)时，证明x＜f(x)＜x1； (2)设函数f(x)的图象关于直线x=x0对称，证明：x0＜

●案例探究

［例1］用一块钢锭烧铸一个厚度均匀，且表面积为2平方米

的正四棱锥形有盖容器(如右图)设容器高为h米，盖子边长为a米，

(1)求a关于h的解析式；

(2)设容器的容积为V立方米，则当h为何值时，V最大？求出

V的最大值(求解本题时，不计容器厚度)

命题意图：本题主要考查建立函数关系式，棱锥表面积和体积

的计算及用均值定论求函数的最值.

知识依托：本题求得体积V的关系式后，应用均值定理可求得最值.

错解分析：在求得a的函数关系式时易漏h＞0. 技巧与方法：本题在求最值时应用均值定理.

解：①设h′是正四棱锥的斜高，由题设可得：

1 2a 4 h a 2 1 2(a 0) 消去h .解得:a 2h 1 a2 1a2 h12 4

1h②由V a2h (h＞0) 33(h2 1)

得：V 1

13(h )h

11所以V≤，当且仅当h=即h=1时取等号 6h

1故当h=1米时，V有最大值，V的最大值为立方米. 6

［例2］已知a，b，c是实数，函数f(x)=ax2+bx+c，g(x)=ax+b，当－1≤x≤1时|f(x)|≤1.

(1)证明：|c|≤1；

(2)证明：当－1 ≤x≤1时，|g(x)|≤2；

(3)设a＞0，有－1≤x≤1时， g(x)的最大值为

2，求f(x).

而h 11 2h 2 hh

命题意图：本题主要考查二次函数的性质、含有绝对值不等式的性质，以及综合应用数学知识分析问题和解决问题的能力.属★★★★★级题目.

知识依托：二次函数的有关性质、函数的单调性是药引，而绝对值不等式的性质灵活运用是本题的灵魂.

错解分析：本题综合性较强，其解答的关键是对函数f(x)的单调性的深刻理解，以及对条件“－1≤x≤1时|f(x)|≤1”的运用；绝对值不等式的性质使用不当，会使解题过程空洞，缺乏严密，从而使题目陷于僵局.

技巧与方法：本题(2)问有三种证法，证法一利用g(x)的单调性；证法二利用绝对值不等式：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|+|b|；而证法三则是整体处理g(x)与f(x)的关系.

(1)证明：由条件当=1≤x≤1时，|f(x)|≤1，取x=0得：|c|=|f(0)|≤1，即|c|≤1.

(2)证法一：依题设|f(0)|≤1而f(0)=c，所以|c|≤1.当a＞0时，g(x)=ax+b在［－1，1］上是增函数，于是

g(－1)≤g(x)≤g(1)，(－1≤x≤1).

∵|f(x)|≤1，(－1≤x≤1)，|c|≤1，

∴g(1)=a+b=f(1)－c≤|f(1)|+|c|=2，

g(－1)=－a+b=－f(－1)+c≥－(|f(－2)|+|c|)≥－2，

因此得|g(x)|≤2 (－1≤x≤1)；

当a＜0时，g(x)=ax+b在［－1，1］上是减函数，于是g(－1)≥g(x)≥g(1)，(－1≤x≤1)， ∵|f(x)|≤1 (－1≤x≤1)，|c|≤1

∴|g(x)|=|f(1)－c|≤|f(1)|+|c|≤2.

综合以上结果，当－1≤x≤1时，都有|g(x)|≤2.

证法二：∵|f(x)|≤1(－1≤x≤1)

∴|f(－1)|≤1，|f(1)|≤1，|f(0)|≤1，

∵f(x)=ax2+bx+c，∴|a－b+c|≤1，|a+b+c|≤1，|c|≤1，

因此，根据绝对值不等式性质得：

|a－b|=|(a－b+c)－c|≤|a－b+c|+|c|≤2，

|a+b|=|(a+b+c)－c|≤|a+b+c|+|c|≤2，

∵g(x)=ax+b，∴|g(±1)|=|±a+b|=|a±b|≤2，

函数g(x)=ax+b的图象是一条直线，因此|g(x)|在［－1，1］上的最大值只能在区间的端点x=－1或x=1处取得，于是由|g(±1)|≤2得|g(x)|≤2，(－1＜x＜1).

(x 1)2 (x 1)2x 12x 12证法三: x () (),422

x 12x 12x 1x 1 g(x) ax b a[() ()] b( )2222 x 12x 1x 12x 1 [a() b() c] [a() b() c]2222

x 1x 1 f() f()22

x 1x 1≤1，－1≤≤0， 22

x 1x 1∵|f(x)|≤1，(－1≤x≤1)，∴|f ()|≤1； )|≤1，|f(22

x 1x 1因此当－1≤x≤1时，|g(x)|≤|f ()|≤2. )|+|f(22当－1≤x≤1时，有0≤

(3)解：因为a＞0，g(x)在［－1，1］上是增函数，当x=1时取得最大值2，即

g(1)=a+b=f(1)－f(0)=2. ①

∵－1≤f(0)=f(1)－2≤1－2=－1，∴c=f(0)=－1.

因为当－1≤x≤1时，f(x)≥－1，即f(x)≥f(0)，

根据二次函数的性质，直线x=0为f(x)的图象的对称轴，

由此得－b＜0 ，即b=0. 2a

由①得a=2，所以f(x)=2x2－1.

●锦囊妙计

1.应用不等式知识可以解决函数、方程等方面的问题，在解决这些问题时，关键是把非不等式问题转化为不等式问题，在化归与转化中，要注意等价性.

2.对于应用题要通过阅读，理解所给定的材料，寻找量与量之间的内在联系，抽象出事物系统的主要特征与关系，建立起能反映其本质属性的数学结构，从而建立起数学模型，然后利用不等式的知识求出题中的问题.

●歼灭难点训练

一、选择题

1.(★★★★★)定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间［0，+∞)的图象与f(x)的图象重合，设a＞b＞0，给出下列不等式，其中正确不等式的序号是( )

①f(b)－f(－a)＞g(a)－g(－b) ②f(b)－f(－a)＜g(a)－g(－b)

③f(a)－f(－b)＞g(b)－g(－a) ④f(a)－f(－b)＜g(b)－g(－a)

A.①③ B.②④ C.①④ D.②③

二、填空题

42.(★★★★★)下列四个命题中：①a+b≥2ab ②sin2x+2≥4 ③设x，y都是正sinx

19数，若 =1，则x+y的最小值是12 ④若|x－2|＜ε，|y－2|＜ε，则|x－y|＜2ε，其中xy

所有真命题的序号是__________.

3.(★★★★★)某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与车库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站__________公里处.

三、解答题

4.(★★★★★)已知二次函数 f(x)=ax2+bx+1(a，b∈R，a＞0)，设方程f(x)=x的两实数根为x1，x2.

(1)如果x1＜2＜x2＜4，设函数f(x)的对称轴为x=x0，求证x0＞－1；

(2)如果|x1|＜2，|x2－x1|=2，求b的取值范围.

5.(★★★★)某种商品原来定价每件p元，每月将卖出n件，假若定价上涨x成(这里x成即x，0＜x≤10).每月卖出数量将减少y成，而售货金额变成原来的 z倍. 10

1(1)设y=ax，其中a是满足≤a＜1的常数，用a来表示当售货金额最大时的x的值； 3

2(2)若y=x，求使售货金额比原来有所增加的x的取值范围. 3

6.(★★★★★)设函数f(x)定义在R上，对任意m、n恒有f(m+n)=f(m)²f(n)，且当x＞0

时，0＜f(x)＜1.

(1)求证：f(0)=1，且当x＜0时，f(x)＞1；

(2)求证：f(x)在R上单调递减；

(3)设集合A={ (x，y)|f(x2)²f(y2)＞f(1)}，集合B={(x，y)|f(ax－g+2)=1，a∈R}，若A∩B= ，求a的取值范围.

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